Köşeleri $1$ yarıçapında bir çember üstünde bulunan ve köşegenlerinden ikisi dik kesişen bir yedigenin alanının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $2\times n$ lik bir dikdörtgeni, kenar uzunlukları tam sayılar olan dikdörtgenlere kaç farklı biçimde ayırabiliriz?

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $xy+yz+zx=1$ ise, $$\dfrac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\ge (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^{2}\ge 6\sqrt{3}$$ olduğunu gösteriniz.

$x_{1}$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $n\ge 1$ tam sayısı için $x_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}}$ ise, $x_{2006}$ sayısının $2006$ ile bölünmesini sağlayan en küçük $x_{1}$ sayısını bulunuz.

$\lbrack AB\rbrack $ çaplı bir çemberin üstündeki $A$ ve $B$ den farklı herhangi bir $Q$ noktasından $\lbrack AB\rbrack $ çapına, $H\in \lbrack AB\rbrack $ olmak üzere, $\lbrack QH\rbrack $ dikmesi iniliyor. $Q$ merkezli ve $\vert QH\vert $ yarıçaplı çemberin $ \lbrack AB\rbrack $ çaplı çemberi kestiği noktalar $C$ ve $D$ ise, $ CD$ doğrusunun $[QH]$ nı iki eşit parçaya böldüğünü gösteriniz.

$2006000$ öğrencinin katıldığı bir Üniversite Giriş Sınavı'nda, her öğrenci $2006$ bölüm arasından $12$ bölümlük bir liste yapıyor. Herhangi $6$ öğrenciyi aldığımızda, bu öğrencilerden her birinin en az birini kendi listesine dahil etmiş olduğu iki bölümün bulunduğu gözleniyor. Her öğrencinin listesinden en az bir bölüm içeren bir bölüm listesine, kapsamlı bir liste diyoruz.

Öğrencilerin verdikleri listeler ne olursa olsun, $12$ elemanlı bir kapsamlı liste oluşturulabileceğini kanıtlayınız.

Daha küçük bir listenin kendilerine göre kapsamlı olmadığı öğrenci listelerinin bulunduğunu gösteriniz.