Tübitak Lise Takım Seçme - 2007

Bir havayolu şirketi $A,B,C,D,E$ ve $F$ kentlerinden bazıları arasında karşılıklı uçak seferleri başlatacaktır. Bu altı kentten herhangi ikisi arasında yalnızca bu şirketin seferlerini kullanarak ulaşımı mümkün kılacak biçimde, bu seferlerin kaç farklı biçimde düzenlenebileceğini belirleyiniz.

Farklı $A$ ve $B$ noktaları ile bu noktalardan geçen bir $ \Gamma $ çemberi verilmiş olsun. $P$, $\Gamma $ üstünde $A$ ve $B $ den farklı, değişen bir nokta olmak üzere, $\widehat{APB}$ nın açıortayının $P$ noktasından $\Gamma $ çemberinin dışına doğru uzantısı üstünde yer alan ve $\vert MP\vert =\vert AP\vert +|PB|$ koşulunu sağlayan $M $ noktasının geometrik yerini belirleyiniz.

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları, $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa, $$\dfrac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\dfrac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\dfrac{1}{ca+2b^{2}+2b}\ge \dfrac{1}{ab+bc+ca}$$ olduğunu kanıtlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeniyle; bu üçgenin dışında ve sırasıyla $ [AC$, $[BA$ ve $[CB$ ışınları üstünde yer alan $B_{1},C_{1}$ ve $A_{1}$ noktalarının oluşturduğu $A_{1}B_{1}C_{1}$ üçgeni benzerdir. $A_{1}B_{1}C_{1}$ üçgeninin diklik merkezi ile $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezinin çakıştığını kanıtlayınız.

Hangi $n$ pozitif tek sayıları için, $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=n^{4}$$ eşitliğini sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ tek sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

$2007\times 2007$ bir satranç tahtasının her birim karesine $1 $ veya $-1$ yazıyoruz. Bu yazımın, tahtanın birim karelerinden oluşan her karenin içindeki sayıların toplamının mutlak değeri $1$ i aşmayacak biçimde, kaç farklı şekilde gerçekleştirilebileceğini belirleyiniz.