Tübitak Lise Takım Seçme - 2009

$\mathbf{Q}^{+}$ tüm pozitif rasyonel sayıların, $\mathbf{Z}$ ise tüm tam sayıların kümesini göstermek üzere, $x>1$ olan her $x \in \mathbf{Q}^{+}$ için, $ f(1/x)=f(x)$ ve $(x+1)f(x-1)=xf(x)$ bağıntılarını sağlayan bütün $f:\mathbf{Q}^{+}\to \mathbf{Z}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir $ABCD$ teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi $O $, yarıçapı ise $r$ dir. $AB$ ve $CD$ doğruları $P$; $AD$ ve $BC$ doğruları $Q$; $AC$ ve $BD$ köşegenleri ise, $K$ noktasında kesişiyor. $O$ noktasından $PQ$ doğrusuna olan uzaklık $ d$ ise, $\vert OK\vert \cdot d=r^{2}$ olduğunu gösteriniz.

$2009$ kişilik toplulukta, hangi iki kişiyi alırsak alalım, bunların ikisiyle birden tanışık olan tam olarak bir kişi bulunuyor. Böyle bir toplulukta en çok tanıdığı olan ve en az tanıdığı olan kişilerin tanıdık sayıları arasındaki farkın alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Hangi $p$ asal sayıları için, $1+p+\prod\limits_{i=1}^{2p-2} Q(x^i)$ polinomunun en az bir tam sayı kökü olacak biçimde, tam sayı katsayılı bir $Q(x)$ polinomunun bulunduğunu belirleyiniz.

Bir $ABC$ üçgeninde, $A_1$, $B_1$ ve $C_1$, iç teğet çemberin sırasıyla, $BC$, $AC$ ve $BC$ kenarlarına değdiği noktalar olmak üzere, $$ \sqrt{\dfrac{|AB_{1}|}{|AB|}}+\sqrt{\dfrac{|BC_{1}|}{|BC|}}+\sqrt{\dfrac{|CA_{1}|}{|CA|}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$ olduğunu kanıtlayınız.

Bir sınıftaki $n\ge 4$ öğrenciden bazıları arkadaştır. Bu sınıftaki herhangi $n-1$ öğrenci, her birinin her iki yanında da birer arkadaşı bulunacak biçimde bir çember oluşturabilirken, $n$ öğrenciyle bu koşulu sağlayan bir çember oluşturulamıyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değerin $10$ olduğunu gösteriniz.