Tübitak Lise Takım Seçme - 2010 Çözümleri

$ABC$ üçgeninin sırasıyla $\lbrack AB\rbrack $, $[BC]$, $ [CA]$ kenarları üstünde yer alan $D,E,F$ noktaları, $\vert AD\vert =\vert AF\vert $, $\vert BD\vert =\vert BE\vert $ ve $\vert DE\vert =\vert DF\vert $ koşullarını sağlıyor. $I$, $ABC$ üçgeninin iç merkezi olmak üzere; $ABI$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğru ile $BI$ doğrusu $K$ noktasında kesişiyor. $\vert AK\vert =|AD|$ ise, $\vert AK\vert =|KE|$ olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

Çözüm:

$AK , (AIB)$ çemberine teğet olduğundan $\angle KAI=\angle ABK$ dir.
Buradan, $\angle KAD=\angle KIA$ olur.
$|DE|=|DF|$ ve $[AI]$ ile $[BI]$ bu uzunlukların orta dikmeleri olduğundan $ID$ , $AIB$ açısının açıortayıdır.
$\angle KAD+2\angle AKD=\angle KIA+2\angle AID\Rightarrow \angle AKD=\angle AID$ dir.
Buna göre ; $AKID$ bir kirişler dörtgenidir. Bu dörtgenden $\angle KIA=\angle ADK=\angle AKD$ bulunur.
Yani $AKD$ bir eşkenar üçgen olup, $|AK|=|KD|$ dir. $BK, [DE]$ nin orta dikmesi olduğundan $|KD|=|KE|$ olur. Sonuç olarak , $|AK|=|KE|$ dir.

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$\begin{array}{r} \sqrt[4]{\dfrac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(b^{2}+c)(b^{2}-bc+c^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(c^{2}+a^{2})(c^{2}-ca+a^{2})}{2}}\\ \le \dfrac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right) \end{array}$$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

Çözüm:

Cauchy-Schwarz'dan $(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \ge 9$ olduğundan
$$\frac{2}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \ge \frac{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{2(a + b + c)}} = \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}}$$
olduğunu söyleyebiliriz. $A.G.O$ dan;
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[4]{{\frac{{({a^2} + {b^2})({a^2} - ab + {b^2})}}{2}}}} \le \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{\frac{{({a^2} + {b^2})}}{2} + ({a^2} - ab + {b^2})}}{2}} } =S$$
olduğunu biliyoruz. Buradan;
$$S = \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{3{a^2} - 2ab + 3{b^2}}}{4}} } \le \sqrt {\frac{{3\left( {6({a^2} + {b^2} + {c^2}) - 2(ab + bc + ca)} \right)}}{4}} $$
elde edilir. Buradan sonra ispatlamamız gereken şey;
$${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge (a + b + c)\sqrt {\frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - (ab + bc + ca)}}{6}}$$
olduğudur. Bunun için;
$${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{\sqrt {2{{(a + b + c)}^2}\left( {9({a^2} + {b^2} + {c^2}) - 3(ab + bc + ca)} \right)} }}{6}=M $$
olmalıdır. $A.G.O$ dan;
$$M \le \frac{{11({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca}}{{12}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2}$$
olduğundan eşitsizlik sağlanır ispat biter.

Yıl boyunca yaptığı sınavlarda $2010$ tane soru sormuş olan bir öğretmen, bu soruları her biri $670$ tane soru içeren üç dosyaya ayırarak, her dosyayı o dosyadaki soruların hepsini çözmüş olan bir öğrenciye vermek istiyor. Herhangi bir soruyu çözemeyen en çok iki öğrenci olması koşuluyla; hangi soru hangi öğrenciler tarafından çözülmüş olursa olsun, öğretmenin bunu yapmasının olanaklı olması için toplam öğrenci sayısının en az kaç olması gerektiğini belirleyiniz.

(Azer Kerimov)

$0\le k<n$ tam sayılar ve $A=\lbrace a : a\equiv k \pmod n\rbrace $ olmak üzere, hiçbir $(a,m) \in A\times \mathbf{Z}^{+}$ için, $$ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}$$ ifadesinin değeri tam sayı değilse, $n $ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan, Okan Tekman)

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $ BD\cap AC=\lbrace E\rbrace $ ve $CD\cap AB=\lbrace F\rbrace $ olmak üzere; $A,E,D,F$ noktaları çemberdeş ise, bu noktalardan geçen çemberi $\Gamma _{D}$ ile gösterelim. Tüm $\Gamma _{D}$ çemberlerinin $A$ dan farklı bir ortak noktadan geçtiğini gösteriniz.

(Serhat Doğan)

$\Lambda $ düzlemdeki kafes noktalarının kümesi ve $\mathcal{F}$ de, $ \Lambda $ dan $\lbrace -1,1\rbrace $ kümesine fonksiyonların kümesi olsun. $\mathcal{F}$ deki bir $f$ fonksiyonu, $\mathcal{F}$ ye ait olan ve $f$ den farklı değer aldığı kafes noktalarının sayısı sonlu olan her $g$ fonksiyonu için, $$\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$ koşulunu sağlıyorsa, $f$ ye şahane diyelim. Birbirinin ötelemesi olmayan sonsuz çoklukta şahane fonksiyon bulunduğunu kanıtlayınız.

(Azer Kerimov)

Çözüm:

(Süha Bardakçı)

İlk olarak, $f$ ve $g$ fonksiyonları $\mathcal{F}$ üzerinde integrallenebilirdir. Buna bağlı olarak bir iddia ortaya atalım.

Tanım:Alttan integral, bir fonksiyonun $x$ ekseninin altında kalan alanı, üstten integral ise $x$ ekseninin üstünde kalan alanı ifade etmektedir.

İddia: Şahane $f$ fonksiyonunun, $\lim A=\infty $ koşulunu sağlayan herhangi bir $A$ bölgesi için, alttan ve üstten integralleri birbirlerinin ters işaretlisidir. Yani $\int_{\mathcal{F}_{\text{alt}}}fdA=-\int_{\mathcal{F}_{\text{üst}}}fdA $ eşitliği geçerlidir.

İspat: Vektörel olarak $x_i$ kafes noktalar kümesi ve $k,m\in \Lambda$ noktaları için,$$\lim_{k\rightarrow \infty}\sum_{k\in \Lambda} (x_{2k+1}-x_{2k})=\int_{\mathcal{F}_{\text{üst}}}fdA$$ şeklinde tanımlayalım.

Tanım gereği, Alt toplamı da $$\lim_{m\rightarrow \infty}\sum_{m\in \Lambda} (x_{2m-1}-x_{2m})=\int_{\mathcal{F}_{alt}}fdA$$
şeklinde tanımlamalıyız. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak, istediğimizi elde etmiş oluruz. İspat biter. $\blacksquare$

O halde $f$ fonksiyonunun integrali, alt ve üst integrallerin toplamı olacağından, bu değer $0$ a eşit olur. bunu kullanarak, soruda verilen eşitsizlikte her iki tarafta integral alırsak,

$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$

$$\int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$

$f$ şahane ise zaten eşitsizliğinin sol tarafı $0$ olacağından, İspatlamamız gereken,

$$0 \geq \int_{\mathcal{F}}\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}$$ eşitsizliğini sağlayan $f$ den farklı sonsuz sayıda kafes noktası olan sonsuz tane $g$ fonksiyonu olduğunu göstermek. $|PQ|$ değeri pozitif olacağından, $g(P)g(Q)$ ifadesi sonsuz sayıda $f$ den farklı kafes noktası için negatif değer alabilir. O halde Sonsuz tane Şahane fonksiyon bu koşulları sağlayabilir.