$\mathbf{Q}^{+}$ pozitif rasyonel sayılar kümesini göstermek üzere; her $ x \in \mathbf{Q}^{+}$ için $$f\left(\dfrac{x}{x+1}\right)=\dfrac{f(x)}{x+1} \quad \text{ ve } \quad f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^{3}}$$ koşullarını sağlayan tüm $f:\mathbf{Q}^{+}\to \mathbf{Q}^{+}$ fonksiyonlarını bulunuz.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin $A$ noktasından geçen çapının diğer ucu $D$ ve içteğet çemberinin merkezi $I$ olsun. Sırasıyla $[BA$ ve $[CA$ ışınları üstünde yer alan $E$ ve $F$ noktaları $$\vert BE\vert =\vert CF\vert =\dfrac{\vert AB\vert +\vert BC\vert +\vert CA\vert }{2}$$ koşulunu sağlıyorsa, $EF$ ve $DI$ doğrularının dik olduğunu gösteriniz.

$A$ ve $B$, sırasıyla $2011^{2}$ ve $2010$ elemanlı birer küme olsun. Her $(x,y)\in A\times A$ için, $f(x,y)=f(y,x)$ koşulunu ve her $g:A\to B$ fonksiyonu için, $g(a_{1})=f(a_{1},a_{2})=g(a_{2})$ ve $a_{1}\ne a_{2}$ olacak biçimde bir $(a_{1},a_{2}) \in A\times A$ bulunmasını sağlayan bir $f:A\times A \rightarrow B$ fonksiyonunun bulunduğunu kanıtlayınız.

$D$, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta olmak üzere; $ABC$, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla, $I$, $I_{1}$ ve $I_{2}$ dir. $AI_{1}I$ ve $ADI_{2}$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $A$ dan farklı bir $E$ noktasında, $ AII_{2}$ ve $AI_{1}D$ üçgenlerinin çevrel çemberleri de $A$ dan farklı bir $F$ noktasında kesişiyor. $|AI_{1}|=|AI_{2}|$ ise, $$\dfrac{|EI|}{|FI|}\cdot \dfrac{|ED|}{|FD|}=\dfrac{|EI_{1}|^{2}}{|FI_{1}|^{2}}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 3$ koşulunu sağlayan tüm pozitif $a,b,c$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\dfrac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\dfrac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)}\ge \dfrac{3}{2}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$n$ pozitif tam sayısının iki tabanına göre yazılımındaki rakamların toplamını $ t(n) $ ile gösterelim. $ k\ge 2 $ bir tam sayı olsun.

a. Tüm $m\ge N$ tam sayıları için, $t(3\cdot 5 \cdots (2m+1))>k$ olmasını sağlayan bir $N$ tam sayısı bulunduğunu gösteriniz.

b. Her $m$ pozitif tam sayısı için, $a_{m}\ge 3$ bir tek sayı ve $ t(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})=k $ olacak biçimde bir $(a_{i})_{i=1}^{\infty } $ tam sayılar dizisi bulunduğunu gösteriniz.

$K$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir nokta ve $ARBPCQ$, köşeleri $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ nın üstünde bulunan dışbükey bir altıgen olsun. $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $A$ da teğet olan çemberin $AP$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $A_{1}$, $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $B$ de teğet olan çemberin $BQ$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $B_{1}$, $K$ den geçen ve $\Gamma $ ya $C$ de teğet olan çemberin $CR$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $C_{1}$ ise, $$\min \left \lbrace \dfrac{|PA_{1}|}{|AA_{1}|},\dfrac{|QB_{1}|}{|BB_{1}|},\dfrac{|RC_{1}|}{|CC_{1}|}\right \rbrace \le 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

$2011$ kentin bulunduğu Çizgistan'daki her kent ikilisi için, Çizge Hava Yolları (ÇHY) tarafından bu kentlerden yalnızca birinden diğerine tek yönlü olarak uçak seferleri düzenlenmektedir. Her kentin kalkış noktası olduğu seferlerin sayısı ile varış noktası olduğu seferlerin sayısının farkının mutlak değeri $k$ yi aşmamak koşuluyla bu seferler nasıl düzenlenirse düzenlensin, Çizgistan'ın herhangi bir kentinden herhangi başka bir kentine yalnızca ÇHY seferlerini kullanarak ulaşmak mümkün olmaktadır. $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

$p$ bir asal sayı, $n$ bir pozitif tam sayı olsun ve $\mathbf{Z}_{p^{n}} = \{0,1,\dots, p^n -1\}$ olsun. Her $ a,b \in \mathbf{Z}_{p^{n}}$ için, ($a+b+pab$, $a+b+pab$ nin $p^n$ ye bölümünden kalanı göstermek üzere), $$f(a)+f(b)\equiv f(a+b+pab) \pmod {p^{n}}$$ koşulunu sağlayan kaç $f:\mathbf{Z}_{p^{n}}\to \mathbf{Z}_{p^{n}}$ fonksiyonunun bulunduğunu belirleyiniz.