Tübitak Lise Takım Seçme - 2012

$A=\{1,2,\dots,2012\}$, $B=\{1,2,\dots,19\}$ ve $S$ de $A$ nın tüm altkümelerinin kümesi olsun. Her $A_1, A_2 \in S$ için, $f(A_1\cap A_2) = \min\{ f(A_1), f(A_2) \}$ koşulunu sağlayan tüm $f:S \rightarrow B$ fonksiyonlarının sayısını belirleyiniz.

$D$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta olmak üzere; $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $M_5$ sırasıyla, $[AD]$, $[AB]$, $[AC]$, $[BD]$, $[CD]$ doğru parçalarının orta noktaları; $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$ sırasıyla, $ABD$, $ACD$, $M_1M_2M_4$, $M_1M_3M_5$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri; $S$ ve $T$ de sırasıyla, $AO_1$ ve $AO_2$ doğru parçalarının orta noktaları olsun. $SO_3O_4T$ dörtgeninin bir ikizkenar yamuk olduğunu kanıtlayınız.

$ab+bc+ca \leq 1$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$ a + b+c + \sqrt 3 \geq 8abc \left( \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} \right)$$ olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarına sırasıyla, $D$, $E$, $F$ noktalarında değiyor. $A$ noktasında geçen ve $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan çember ise, $[BF]$ ve $[CE]$ doğru parçalarını sırasıyla, $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $E$ den geçen ve $DL$ ye paralel olan doğru ile $F$ den geçen ve $DK$ ye paralel olan doğru da $P$ noktasında kesişiyor. $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ sırasıyla, $AFD$, $AED$, $FPD$, $EPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları olmak üzere, $R_1R_4 = R_2R_3$ olduğunu kanıtlayınız.

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için, her biri $n$ ile bölünen $n$ tane tam sayının karelerinin toplamı olarak yazılabilen her pozitif tam sayının, hiçbiri $n$ ile bölünmeyen $n$ tane tam sayının karelerinin toplamı olarak da yazılabileceğini belirleyiniz.

Arda ile Başak $1\times m$ bir satranç tahtası ve üzerlerinde $1$ den $2012$ ye kadar tam sayıların yazılı olduğu $2012$ taşla bir oyun oynuyorlar. Her hamlede Arda bir taş seçiyor ve Başak bunu tahtanın istediği boş bir karesine yerleştiriyor. Bu biçimde yapılan $k$ hamle sonucunda seçilen taşlar tahtaya artan bir sırada yerleştirilmişse, oyunu Başak; değilse, Arda kazanıyor. Hangi $(m,k)$ ikilileri için Başak’ın oyunu kazanmayı garantileyebileceğini belirleyiniz.

Bir $r$ rasyonel sayısı ve bir $n$ pozitif tam sayısı için, $S_r(n) = 1^r + 2^r + \dots + n^r$ olsun. Sonsuz çoklukta $n$ pozitif tam sayısı için, $S_a(n) = \left(S_b(n)\right)^c$ olmasını sağlayan bütün $a,b$ pozitif rasyonel sayılarını ve $c$ pozitif tam sayılarını belirleyiniz.

$ABC \cong A'B'C'$ olacak biçimde düzlemde yer alan birbirinden farklı $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ noktaları için, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktası olsun. $G$ den geçen $A'$ merkezli çember ile $[AA']$ çaplı çember $A_1$ noktasında, $G$ den geçen $B'$ merkezli çember ile $[BB']$ çaplı çember $B_1$ noktasında, $G$ den geçen $C'$ merkezli çember ile $[CC']$ çaplı çember de $C_1$ noktasında kesişiyorsa, $$|AA_1|^2+|BB_1|^2+|CC_1|^2\leq |AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2 $$ olduğunu gösteriniz.

Tüm pozitif tam sayıların kümesinin $\mathbf{Z}^+$ ile, tüm asal sayıların kümesini de $\mathbf{P}$ ile gösterelim.

$A$ ve $S$, $\mathbf{Z}^+$ nın altkümeleri olmak üzere; $A$ nın tüm $a$ elemanları ve $0\leq b < a$ koşulunu sağlayan tüm $b$ tam sayıları için, $b \equiv s_1 + s_2 + \dots + s_n \pmod a$ ve $1 \leq n \leq N$ olacak biçimde $S$ ye ait $s_1, s_2, \dots, s_n$ sayılarının bulunmasını sağlayan bir $N$ pozitif tam sayısı varsa, $A$ kümesine $S$-uygun diyelim.

$\mathbf{P}$ kümesi $S$-uygun olacak ve $\mathbf{Z}^+$ kümesi $S$-uygun olmayacak biçimde $\mathbf{Z}^+$ nın bir $S$ altkümesini bulunuz.