Tübitak Lise 2. Aşama - 1991

Beş ardışık tamsayının karelerinin toplamının bir tam kare olamayacağını gösteriniz.

Her terimi $A= \{1,2,3,4,5,6,7,8 \}$ kümesinin bir alt kümesine eşit olan ve aşağıdaki koşulları sağlayan $B_1,\dots,B_K$ dizisi oluşturuyoruz.

• $i \neq j \Rightarrow B_i \neq B_j$
• Her $i,j\in\{1,\dots, K \}$ için $B_i \cap B_j \neq \emptyset$.

$K$ nın alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$x, y, z$ reel sayıları, $$x+y=z-1$$ $$xy = z^2 - 7z +14$$ denklemlerini sağlıyorsa
$x^2+y^2 \leq 8$ olduğunu gösteriniz.

$a_i$, $b_i$ sayıları pozitif ve $$\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_2}{b_2}<\dots < \dfrac{a_n}{b_n}$$ ise; $$\dfrac{a_1}{b_1}<\dfrac{a_1 + a_2+\dots + a_n}{b_1+b_2+\dots +b_n} < \dfrac{a_n}{b_n}$$ eşitsizliklerini kanıtlayınız.

$A$, $B$ ve $C$ yarıçapı $R$ olan bir çember üzerinde bulunan üç noktadır. $ABC$ üçgeninin $A$ açısına ait iç açıortay uzunluğu ile dış açıortay uzunluğu aynı ise $$|AB|^2+|AC|^2 = 4R^2$$ olacağını gösteriniz.

$ABC$ üçgeni $A$ tepe açısı $80^\circ$ olan bir ikizkenar üçgendir. $[BC]$ tabanı üzerinde bir $D$ noktası ve $[AC]$ yan kenarı üzerinde bir $E$ noktası o şekilde alınıyor ki $m(\widehat {ADB} ) = 80^\circ$ ve $m(\widehat {AEB} )= 70^\circ$ oluyor. $m(\widehat {BED} )$ açısı kaç derece olur?