Tübitak Lise 2. Aşama - 1992

Beş çiftin katıldığı bir partide, katılanların bir bölümü birbirleriyle el sıkışırlar. Hiç kimse doğal olarak ne kendi kendisiyle ne de eşiyle el sıkışır. Partiye katılanlardan biri, kendi dışındaki (eşi de dahil olmak üzere) dokuz kişiye kaç kişiyle el sıkışmış olduklarını sorar. Aldığı yanıtlara bakınca, bu dokuz kişi içinde eşit sayıda kişiyle el sıkışmış herhangi iki kişinin bulunmadığını görür. Diğerlerine kaç kişiyle sıkıştıklarını soran kişinin eşinin kaç kişiyle el sıkışmış olduğunu bulunuz.

$a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için $$ \dfrac {12}{a+b+c+d} \leq \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+d} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{b+d} + \dfrac{1}{c+d} \leq \dfrac{3}{4}\left(\dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 1c + \dfrac 1d \right) $$ eşitsizliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.

$$\begin{array}{rcl} x^2 + y^2 + z^2 &=& 361 \\ \dfrac 1x + \dfrac 1y + \dfrac 1z &=& 0 \\ x-y+z &=& 11 \end{array}$$ denklemlerinin tüm $(x,y,z)$ reel çözümlerini bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin $B$ açısının iç açıortayına $CE$ dikmesi, $C$ açısının içaçıortayına da $BD$ dikmesi indiriliyor. $DE$ doğrusu, $[AB]$ kenarını $P$ noktasında ve $[AC]$ kenarını $Q$ noktasında kestiğine göre $$|AP|=|AQ|$$ olduğunu ispatlayınız.

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına paralel olan $d$ doğrusu, $AB$ ve $AC$ doğrularını sıra ile $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $BE$ doğrusu ile $CD$ doğrusunun kesim noktası $P$ olduğuna göre, $P$ noktasının geometrik yerini bulunuz.

Hiçbir $n$ pozitif tam sayısı için $$n^4+3n^2+1$$ sayısının bir tam kare olmadığını gösteriniz.