Balkan Matematik Olimpiyatı - 2026 Çözümleri

Pozitif gerçel sayılardan oluşan bir $S$ kümesinde $x<y<z$ koşulunu sağlayan her $x,y,z \in S$ için $$\dfrac{z-x}{y} \in S$$ koşulu da sağlanıyorsa, $S$ kümesine $\textit{Aristotelian}$ diyelim. $n \geq 4$ tam sayısının hangi değerleri için tam olarak $n$ elemandan oluşan bir Aristotelian küme bulunur?

$n$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. $2n \times 2n$ bir satranç tahtası $2 \times 1$ ve $1 \times 2$ dominolarla kaplanmıştır (Tahtanın kaplanması, her dominonun satranç tahtasının tam olarak iki birim karesini kaplaması ve tahtanın her birim karesinin tam olarak bir domino tarafından kaplanması olarak tanımlanıyor). Bir dominonun $\textit{döndürülmesi}$ şu şekilde tanımlanıyor: Dominonun iki birim karesinden biri seçiliyor ve seçilen birim karenin merkezine göre dominonun tamamı ya saat yönünde $90^{\circ}$, ya saatin tersi yönünde $90^{\circ}$ ya da $180^{\circ}$ döndürülüyor. Başlangıçta verilen kaplama nasıl olursa olsun, dominoların her biri aynı anda döndürülerek tahtanın yeniden kaplanabileceğini kanıtlayınız.

Bir $ABCD$ paralelkenarında $\angle{DAB} < 90^{\circ}$ ve $|AB|<|AD|$ koşulları sağlanıyor. $\triangle BCD$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olmak üzere, $H$ noktasının $BD$ doğrusuna göre yansıması $H'$ noktası olsun. $AH$ doğrusunun $BD, CD, BC$ doğruları ile kesişimleri sırasıyla $E, F, G$ noktaları olsun. $\triangle HEH'$ ve $\triangle CFG$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu kanıtlayınız.

$n \geq 2$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Başlangıçta tahtada $n$ tane $1$ sayısı yazılmıştır. Her işlemde tahtada yazılı olup en az biri sıfırdan farklı olan $a$ ve $b$ sayıları seçiliyor, seçilen sayılar siliniyor ve silinen iki sayının yerine tahtaya $$\dfrac{(a-b)^2}{a+b} \quad \text{ve} \quad \dfrac{4ab}{a+b}$$ sayıları yazılıyor. $n$ tam sayısının hangi değerleri için sonlu sayıda işlem sonucunda tahtaya $n$ sayısı yazılabilir?