$2026^2$ birim karesinden en az biri kırmızı olan $2026 \times 2026$ boyutlarındaki bir tahtaya $\textit{bordeaux}$ tahta diyelim. Birim karelerden oluşan bir dikdörtgensel bölgede tek sayıda kırmızı birim kare varsa bu bölgeye tekli-dikdörtgensel diyelim. $M$ pozitif tam sayısının en büyük hangi değerinde, her $2026 \times 2026$ bordeaux tahtada en az $M$ birim kareden oluşan bir tekli-dikdörtgensel bölge bulunur?

Not: Bir dikdörtgensel bölgenin kenarları tahtanın kenarlarına paraleldir. Bir dikdörtgensel bölge iç bölgesindeki tüm birim kareleri içerir. Kare de bir dikdörtgendir.

Bir $n$ pozitif tam sayısı verilmiş olsun. Aslı başlangıçta üzerinde $1$ sayısı yazılı olan bir tahtada bir oyun oynuyor. Aslı istediği kadar hamle yaparak her hamlesinde $1 \leq j \leq n$ olmak üzere bir $j$ tam sayısı seçiyor ve tahtadaki $V$ sayısını $j \cdot R \left( \dfrac{V}{j} \right )$ sayısı ile değiştiriyor. Burada $R(x),$ $x$ sayısına en yakın olan tam sayıdır; eğer $x$ sayısı iki ardışık tam sayının tam ortasındaysa üste yuvarlanır. Örneğin, $R(1.3)=1$ ve $R(1.5)=R(1.8 )=2$.

     a) Verilmiş her $n$ pozitif tam sayısı için, öyle bir $B$ pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz ki Aslı hiçbir zaman tahtaya $B$ sayısından büyük bir sayı yazamasın.

     b) Verilmiş her $n$ pozitif tam sayısı için, $f(n)$ ile tahtada sonlu sayıda hamle sonucunda elde edilebilecek en büyük sayıyı gösterelim. Öyle bir $N$ pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz ki her $n \geq N$ pozitif tam sayısı için $2026$ sayısı $f(n)$ sayısını bölsün.

Tüm gerçel sayılar kümesi $\mathbb R$ ile gösteriliyor. Tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için
$$f \bigg ( \Big (f(x)+f(y) \Big ) ^2 \bigg ) = (x+y) f(x+y)$$
eşitliğini sağlayan bütün $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir $1= a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ sonsuz gerçel sayı dizisinde her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n= a_{2n} + a_{2n+1}$ koşulu sağlanıyor. $r= 2026^{2026}$ olmak üzere,
$$\dfrac{1}{r} \leq a_r \leq \dfrac{2}{r+1}$$
olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|AC| > |AB|$ olsun. Bu üçgenin çevrel çemberi $\omega$ ve bu çemberin merkezi $O$ olsun. $\omega$ çemberine $B$ ve $C$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $K$ olsun. $ABK$ üçgeninin çevrel çemberinin $BC$ doğrusu ile ikinci kesişim noktası $Z \neq B$ olsun. $[KZ]$ doğru parçasının orta noktası $L$ olsun. $KZ$ ve $AB$ doğrularının kesişim noktası $X$ olsun. $V$ noktası $ABL$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olup, $BC$ doğrusuna göre $A$ ile aynı tarafta yer alan öyle bir noktadır ki $OV$ ve $KZ$ doğruları birbirine diktir. $LV$ ve $CX$ doğrularının birbirine dik olduğunu gösteriniz.

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $n$ sayısı $p$ ile bölünmeyen bir pozitif tam sayı olsun. $n$ sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı $k$ olmak üzere, bu pozitif bölenler $1=d_1 < d_2 < \dots <d_k =n$ olsun. Her $i=1, 2, \dots , k$  için $c_i$ sayısı, $d_i^2$ sayısının öyle $\ell$ pozitif tam bölenlerinin sayısı olsun ki $d_i- \ell$ sayısı $p$ ile bölünsün. Buna göre,
$$(p-1)(c_1 + c_2 + \cdots + c_k) \geq k^2$$
olduğunu gösteriniz.