Uluslararası Matematik Olimpiyatı

Düzlemdeki bir doğru; $x$-ekseni, $y$-ekseni ve $x+y=0$ doğrularının hiçbirine paralel değilse bu doğruya $\textit{parlak}$ diyelim.

$n\geq 3$ verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Hangi $k$ negatif olmayan tam sayıları için, düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan $n$ farklı doğrunun bulunduğunu belirleyiniz:

$a+b \leq n+1$ koşulunu sağlayan tüm $a$, $b$ pozitif tam sayıları için, $(a,b)$ noktası bu doğrulardan en az birinin üzerindedir;

bu $n$ tane doğrunun tam olarak $k$ tanesi parlak doğrudur.

(Amerika Birleşik Devletleri)

$\Omega$ ve $\Gamma$ çemberlerinin merkezleri sırasıyla $M$ ve $N$ olsun ve $\Omega$ çemberinin yarıçapı $\Gamma$ çemberinin yarıçapından daha küçük olsun. $\Omega$ ve $\Gamma$ çemberleri birbirlerinden farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. $MN$ doğrusu $\Omega$ ile $C$ noktasında ve $\Gamma$ ile $D$ noktasında, bu noktalar bulundukları doğru üzerinde $C$, $M$, $N$ ve $D$ sırası ile yer alacak şekilde kesişiyor. $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $P$ olsun. $AP$ doğrusunun $\Omega$ ile ikinci kesişim noktası $E \neq A$ olsun. $AP$ doğrusunun $\Gamma$ ile ikinci kesişim noktası $F \neq A$ olsun. $PMN$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasından geçen ve $AP$ doğrusuna paralel olan doğrunun $BEF$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

(Bir üçgenin diklik merkezi, o üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.)

(Vietnam)

Çözüm:

$\angle ACD =\alpha$ ve $\angle ADC=\beta$ olsun.
$\angle AMN =2\alpha$, $\angle ANM =2\beta$.
$\angle DPA=2\angle ACD = 2\alpha$ ve $\angle CPA=2\angle ADC =2\beta$.
$\angle AMD = \angle DPA = 2\alpha$ olduğu için $A,M,P,D$ çemberseldir. Bu durumda $\angle APM =\angle ADM = \beta$ ve benzer şekilde $\angle APN = \alpha$ dır.

$\angle PAC = 90^\circ-\beta$ ve $\angle PAM = \angle PAC - \angle MAC = 90^\circ-\alpha -\beta$. Bu durumda $MAN$ üçgeninde $AP$ açıortaydır.

$\Omega$ nın $A$ dan geçen çapı $AK$, $\Gamma$ nın $A$ dan geçen çapı $AL$ olsun.
$AM=MK$ ve $AN=NK$ olduğu için $MN\parallel KL$. $AB\perp MN$ olduğu için de $AB\perp KL$ ve $K,B,L$ doğrusaldır.
$KL$ nin orta noktası $Q$ olsun. $MQ\parallel AN$, $NQ\parallel AM$. Yani $AMQN$ paralelkenardır.

$AKBE$ kirişler dörtgeninde $\angle EBL = \angle KAE = 90^\circ -\alpha -\beta$.
$ABFL$ kirişler dörtgeninde $\angle FBL = \angle FAL=90^\circ-\alpha-\beta$.
Dolayısıyla $BEF$ üçgeninde $BQ$ açıortaydır.
$\angle MEA= \angle EAM =\angle EAN = 90^\circ-\alpha-\beta$ olduğu için $ME\parallel AN$, dolayısıyla $M,E,Q$ doğrusaldır.

$HN\perp MP$, $MP\perp AC$ olduğu için $AC\parallel HN$, dolayısıyla $\angle MNH =\angle ACM =\alpha$, benzer şekilde $\angle NMH =\angle ADN =\beta$ dır.

$MNQ$ üçgeninde $H$, iç merkezdir.
$\angle FBQ =\angle EBQ = \angle MEA = \angle FEQ =\angle EQH=90^\circ-\alpha-\beta$ olduğu için $E, B, F, Q$ çembersel, $HQ\parallel EF$ ve $HQ$ doğrusu $(EBFQ)$ çemberine teğettir.

$\mathbb Z ^{+}$ pozitif tam sayıların kümesi olsun. Bir $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonu, tüm $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $$f(a) \quad \text{böler} \quad b^a-f(b)^{f(a)}$$ koşulunu sağlıyorsa bu fonksiyona $\textit{güzel}$ diyelim.

Tüm güzel $f$ fonksiyonları ve tüm $n$ pozitif tam sayıları için $f(n) \leq cn$ olmasını sağlayan en küçük $c$ gerçel sabit sayısını bulunuz.

(Kolombiya)

Bir $a_1,a_2, \dots$ sonsuz pozitif tam sayı dizisinde, her terimin en az üç tane kendisine eşit olmayan böleni vardır. Bu dizide, her $n \geq 1$ için, $a_{n+1}$ sayısı $a_n$ sayısının kendisine eşit olmayan en büyük üç böleninin toplamına eşittir.

$a_1$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

(Litvanya)

Aslı ve Betül bir $\textit{Avustralya oyunu}$ oynamaktadır, bu oyun iki kişiliktir ve kuralları her iki oyuncunun da bildiği bir $\lambda$ pozitif gerçel sayısına bağlıdır. Oyunun $n.$ hamlesinde ($n=1$ ile başlayarak) aşağıdaki hamleler yapılmaktadır:

$\bullet$ $n$ tek sayı ise, Aslı $$x_1+x_2+ \cdots +x_n \leq \lambda n$$ olacak şekilde bir $x_n$ negatif olmayan gerçel sayısı seçmektedir.

$\bullet$ $n$ çift sayı ise, Betül $$x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2 \leq n$$ olacak şekilde bir $x_n$ negatif olmayan gerçel sayısı seçmektedir.

Kurallara uygun bir $x_n$ sayısı seçemeyen oyuncu oyunu kaybediyor ve diğer oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun sonsuza kadar devam ederse hiçbir oyuncu oyunu kazanamıyor. Her iki oyuncu da seçilen tüm sayıları bilmektedir.

$\lambda$ sayısının hangi değerlerinde Aslı'nın kazanma stratejisinin bulunduğunu ve hangi değerlerinde Betül'ün kazanma stratejisinin bulunduğunu belirleyiniz.

(İtalya)

Birim karelerden oluşan bir $2025 \times 2025$ satranç tahtası verilmiştir. Zehra, bu satranç tahtasının üzerine bazı dikdörtgenler yerleştiriyor. Bu dikdörtgenlerin boyutları birbirlerinden farklı olabilir, her dikdörtgenin her kenarı bu satranç tahtasının birim karelerinin kenarlarını oluşturan doğrular üzerinde yer alıyor ve her birim kare en fazla bir tane dikdörtgen tarafından kaplanıyor.

Zehra'nın bu tahtayı her satırda ve her sütunda hiçbir dikdörtgen tarafından kaplanmayan tam olarak bir birim kare bulunacak şekilde kaplayabilmesi için en az kaç tane dikdörtgen kullanması gerektiğini bulunuz.

(Singapur)

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2025 Çözümleri