$N$ pozitif tam sayısı için, $N$ den küçük ve $N$ ile aralarında asal olan tüm pozitif tam sayılar $c_1<c_2< \dots <c_m$ olsun. Her $1 \leq i \leq m-1$ için $$ebob(N,c_i+c_{i+1}) \neq 1$$ koşulunu sağlayan tüm $N \geq 3$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$ebob(a,b)$ ile $a$ ve $b$ sayılarının ikisini de bölen en büyük tam sayı gösterilmektedir.

Artan ve sonsuz bir $a_1<a_2<a_3< \cdots $ pozitif tam sayı dizisinde, her $n$ pozitif tam sayısı için ilk $a_n$ terimin aritmetik ortalaması $a_n$ sayısına eşitse bu diziye $\textit{iyi}$ diyelim. Öyle bir sonsuz $b_1,b_2,b_3, \dots $ pozitif tam sayı dizisi olduğunu gösteriniz ki herhangi bir $a_1,a_2,a_3, \dots$ iyi dizisi verildiğinde $a_n=b_n$ koşulunu sağlayan sonsuz çoklukta $n$ pozitif tam sayısı bulunur.

$ABC$ dar açılı bir üçgen olsun. $B,D,E,C$ noktaları aynı doğru üzerinde bu sırayla yer alan ve $|BD|=|DE|=|EC|$ koşulunu sağlayan noktalar olsun. $M$ ve $N$ noktaları sırasıyla $AD$ ve $AE$ doğru parçalarının orta noktaları olsun. $ADE$ üçgeninin dar açılı olduğunu varsayalım ve bu üçgenin diklik merkezi $H$ olsun. $P$ ve $Q$ noktaları sırasıyla $BM$ ve $CN$ doğruları üzerinde;  $D,H,M,P$ noktaları birbirinden farklı ve çemberdeş olacak şekilde ve $E,H,N,Q$ noktaları birbirinden farklı ve çemberdeş olacak şekilde alınıyor. $P,Q,N,M$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember merkezi $I$ ve $|AB| \neq |AC|$ olsun. $BI$ ve $CI$ doğruları $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile sırasıyla $P \neq B$ ve $Q \neq C$ noktalarında kesişiyor. $R$ ve $S$ noktalarını, $AQRB$ ve $ACSP$ paralelkenar olacak şekilde $(AQ \parallel RB, \  AB \parallel QR, \ AC \parallel SP$ ve $AP \parallel CS)$ alalım. $RB$ ve $SC$ doğrularının kesişim noktası $T$ olsun. $R,S,T,I$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

$n>1$ bir tam sayı olsun. $n \times n$ bir satranç tahtasının $n^2$ birim karesinin her birinde ya aşağı, ya yukarı, ya sola, ya da sağa doğru yönlendirilmiş birer ok varsa, buna bir konfigürasyon diyelim. Bir başlangıç konfigürasyonu verildiğinde, salyangoz Turbo tahtadaki birim karelerin birinden başlayıp birim kareden birim kareye geçerek yolculuk yapmaktadır. Turbo, her hamlesinde bulunduğu karedeki okun işaret ettiği yönde bir birim kare ilerlemektedir (tahtanın dışına çıkabilmek mümkündür). Her hamleden sonra, tahtadaki her bir ok saat yönünün tersinde $90^{\circ}$ dönmektedir. Eğer Turbo bir birim kareden başlayıp tahtanın dışına çıkmadan tahtadaki tüm birim karelere tam olarak bir kez uğrayarak başladığı birim kareye geri dönüyorsa, bu yolculuğa başlanılan birim kareye iyi diyelim. Bütün konfigürasyonlar arasında, iyi birim kare sayısı en çok olan konfigürasyonun içerdiği iyi birim kare sayısını $n$ cinsinden bulunuz.

$2025 \times 2025$ bir tahtanın her birim karesine birer negatif olmayan gerçel sayı, her bir satırdaki sayıların toplamı $1$ olacak ve her bir sütundaki sayıların toplamı $1$ olacak şekilde yazılmıştır. $i.$ satırdaki en büyük sayı $r_i$ olmak üzere, $R=r_1+r_2+ \cdots +r_{2025}$ olsun. Benzer şekilde, $i.$ sütundaki en büyük sayı $c_i$ olmak üzere, $C=c_1+c_2+ \cdots +c_{2025}$ olsun.
$\frac{R}{C}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?