Balkan Matematik Olimpiyatı - 2025

$n>1$ bir tam sayı olsun. $1,2,3, \dots ,n$ sayılarının bir $a_1,a_2,a_3, \dots, a_n$ permütasyonu

• her $1 \leq i \leq n-1$ için $a_i$ ve $a_{i+1}$ sayılarının biri tek, diğeri çift;
• her $1\leq k\leq n$ için $a_1+a_2+ \dots +a_k$ toplamı $n$ modunda kare kalan

olacak şekilde bulunabiliyorsa $n$ sayısına $\textit{iyi}$ diyelim. Sonsuz sayıda iyi sayı bulunduğunu ve sonsuz sayıda iyi olmayan sayı bulunduğunu gösteriniz.

Not: Bir $x$ tam sayısı için, $x \equiv y^2 \pmod n$ olacak şekilde bir $y$ tam sayısı bulunuyorsa $x$ sayısına $n$ modunda kare kalan deniyor.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $[BC]$ kenarının üstünde bir $D$ noktası ve sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde $E$ ve $F$ noktaları; $A,B,D,F$ ve $A,C,D,E$ çemberdeş olacak şekilde alınıyor. $[BF]$ ve $[CE]$ doğru parçalarının kesişim noktası $P$ olsun. $HA$ doğrusu üzerinde bir $L$ noktası, $LC$ doğrusu $PBC$ üçgeninin çevrel çemberine $C$ noktasında teğet olacak şekilde alınıyor. $BH$ ve $CP$ doğrularının kesişim noktası $X$ olsun. $D,L$ ve $X$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

Tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $$f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y)$$ eşitliğini sağlayan bütün $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

$n \geq 100 $ bir tam sayı olmak üzere, bir ülkede $n$ kent vardır. Bazı kent ikilileri arasında çift yönlü uçuşlar yapılmaktadır. $A$ ve $B$ kentleri için aşağıdaki tanımları yapalım:

• $k \geq 0$ olmak üzere, birbirinden farklı kentlerden oluşan bir $A=C_0,C_1, \dots , C_k,C_{k+1}=B$ dizisine, her $0 \leq i \leq k$ için $C_i$ ve $C_{i+1}$ kentleri arasında direkt uçuş varsa, $A$ ve $B$ arasındaki bir $\textit{yol}$ diyelim;
• $A$ ve $B$ arasındaki bir yol, $A$ ve $B$ arasındaki herhangi diğer bir yoldan daha az sayıda kent içermiyorsa, bu yola $A$ ve $B$ arasında bulunan bir $\textit{uzun yol}$ diyelim;
• $A$ ve $B$ arasındaki bir yol, $A$ ve $B$ arasındaki herhangi diğer bir yoldan daha fazla sayıda kent içermiyorsa, bu yola $A$ ve $B$ arasında bulunan bir $\textit{kısa yol}$ diyelim.

Farz edelim ki bu ülkede herhangi iki $A$ ve $B$ kentleri arasında öyle bir uzun yol ve öyle bir kısa yol vardır ki bu iki yolun $A$ ve $B$ dışında ortak kentleri bulunmuyor. Bu ülkede aralarında direkt uçuş bulunan kent ikililerinin sayısı $F$ olsun. $F$ sayısının alabileceği tüm değerleri $n$ cinsinden bulunuz.