Genç Balkan Matematik Olimpiyatı

1

Her $a,b$ ve $c$ pozitif reel sayısı için

$$\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c}+\dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a}+\dfrac{(c^2+ab}{a+b}\geq \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$

olduğunu gösteriniz.

2

$2025$ sayısı bir blok olmak üzere, en az bir blok içeren
$$20252025\cdots 2025$$
formdaki sayılardan bir tam sayının karesi olan sayıları belirleyiniz.

3

$\angle A=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ noktasından $BC$ kenarına inen dikme ayağı $D$ ve $CD$ doğru parçasının orta noktası $E$ dir. $ABD$ üçgeninin çevrel çemberi $AE$ doğrusunu ikinci kez $F$ noktasında kessin. $AB$ ve $DF$ doğruları $X$ noktasında kesiştiğine göre $XD=XC$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$AD$ ile $BF$, $H$ de kesişsin. $H$, $\triangle ABE$ nin diklik merkezidir. $EH\perp AB$ olduğu için $EH\parallel AC$. Dolayısıyla $DH:HA=DE:EC=1$.
$AC$ nin orta noktası $M$ olsun. $EM \parallel AD$ olduğu için $EM\perp BC$ ve $\angle EMH=90^\circ$.
$A, B, D, F$ noktaları çemberseldir. Bu çembere $\odot (AB)$ diyelim.
$A, B, E, M$ noktaları çemberseldir. Bu çember de $\odot (BM)$ olsun.
$\odot (EH)$ çemberi de $E, D, H, F, M$ noktalarından geçer.
$\odot (AB)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $AB$, $\odot (AB)$ ile $\odot (EH)$ nin kuvvet ekseni $DF$, $\odot (EH)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $EM$ dir.
Üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri noktadaş olduğu için $X, M, E$ doğrusaldır. $DE=EC$ ve $XE\perp CD$ olduğu için $XD=XC$ dir.

4

$n$ bir pozitif tam sayı olsun. $n\times n$ satranç tahtasının her birim karesine $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılardan biri, her satırda $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar tam olarak birer kez ve her sütunda $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar tam olarak birer kez bulunacak şekilde yazılmıştır. Her $1 \leq i \leq n$ için, $a$ ve $b$ sayıları $i.$ satırda bulunmak üzere, $a$ sayısı $b$ sayısının sol tarafında olup (hemen solunda olmak zorunda değil) $a>b$ olan $(a,b)$ sayı ikililerinin sayısına $r_i$ diyelim. Her $1 \leq j \leq n$ için, $a$ ve $b$ sayıları $j.$ sütunda bulunmak üzere, $a$ sayısı $b$ sayısının üst tarafında olup (hemen üstünde olmak zorunda değil) $a>b$ olan $(a,b)$ sayı ikililerinin sayısına $c_j$ diyelim.
$$r_1+r_2+ \cdots +r_n+c_1+c_2+ \cdots +c_n$$ toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Not: $n \times n$ satranç tahtasının satırları yukarıdan aşağıya doğru $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılarla, sütunları soldan sağa doğru $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılarla numaralandırılmıştır.

(Bulgaristan)

Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2025 Çözümleri