Her $a,b$  ve $c$  pozitif reel sayısı için

$$\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c}+\dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a}+\dfrac{(c^2+ab}{a+b}\geq \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$

olduğunu gösteriniz.

$2025$  sayısı bir blok olmak üzere, en az bir blok içeren
$$20252025\cdots 2025$$
formdaki sayılardan bir tam sayının karesi olan sayıları belirleyiniz.

$\angle A=90^{\circ}$  olan bir $ABC$  üçgeninde $A$  noktasından $BC$  kenarına inen dikme ayağı $D$  ve $CD$  doğru parçasının orta noktası $E$  dir. $ABD$  üçgeninin çevrel çemberi $AE$  doğrusunu ikinci kez $F$  noktasında kessin. $AB$  ve $DF$  doğruları $X$  noktasında kesiştiğine göre $XD=XC$  olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı olsun. $n\times n$ satranç tahtasının her birim karesine $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılardan biri, her satırda $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar tam olarak birer kez ve her sütunda $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar tam olarak birer kez bulunacak şekilde yazılmıştır. Her $1 \leq i \leq n$ için, $a$ ve $b$ sayıları $i.$ satırda bulunmak üzere, $a$ sayısı $b$ sayısının sol tarafında olup (hemen solunda olmak zorunda değil) $a>b$ olan $(a,b)$ sayı ikililerinin sayısına $r_i$ diyelim. Her $1 \leq j \leq n$ için, $a$ ve $b$ sayıları $j.$ sütunda bulunmak üzere, $a$ sayısı $b$ sayısının üst tarafında olup (hemen üstünde olmak zorunda değil) $a>b$ olan $(a,b)$ sayı ikililerinin sayısına $c_j$ diyelim.
$$r_1+r_2+ \cdots +r_n+c_1+c_2+ \cdots +c_n$$ toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Not: $n \times n$ satranç tahtasının satırları yukarıdan aşağıya doğru $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılarla, sütunları soldan sağa doğru $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılarla numaralandırılmıştır.