Geomania.Org Forumları

$a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $$2^a+a^2-b^2, \quad 2^b+b^2-c^2 \quad \text{ve} \quad 2^c+c^2-a^2$$ sayılarının üçünün de tamkare olmasını sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m \times n$ satranç tahtası, bu tahtanın birim karelerinden oluşan $1 \times 2$ ve $2 \times 1$ dikdörtgenlerle, herhangi iki dikdörtgen ortak birim kare içermeyecek şekilde tamamen kaplanmıştır. $1 \times 2$ dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler kırmızıya, $2 \times 1$ dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler maviye boyanıyor. Bu satranç tahtasında bir tarafı mavi bir tarafı kırmızı olan birim kenarların sayısının çift olduğunu gösteriniz.

$a$ ve $b$ verilmiş gerçel sayılar olsun. Her $x,y \in \mathbb R$ için $$f(x+f^{100}(y)+a)=y+f^{2025}(x)+b$$ koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Not: $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $f^k(x)= \underbrace{f(f( \cdots f}_{k \ kez} (x)))$ olarak tanımlanıyor.

$a_1, a_2, \dots , a_{2025} $ gerçel sayılar olmak üzere, her $1 \leq i < j \leq 2025$ için, birinci tahtaya $1-|a_i-a_j|$ sayısı, ikinci tahtaya $|a_i+a_j|-1$ sayısı yazılıyor. Hangi $(a_1, a_2, \dots , a_{2025})$ 2025-lileri için, her gerçel sayı her iki tahtaya da eşit sayıda yazılır?

Bir $ABC$ üçgeninde $A, B, C$ noktalarından indirilen yükseklik ayakları sırasıyla $D, E, F$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasından geçen bir $\ell$ doğrusu $EF, DF, DE$ doğruları ile sırasıyla $X, Y , Z$ noktalarında kesişiyor. $XBF$ ve $XCE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $A_1$, $YCD$ ve $YAF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $B_1$, $ZAE$ ve $ZBD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $C_1$ olsun. $A_1D, B_1E$ ve $C_1F$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

İki tamkarenin toplamı şeklinde yazılabilen sayıların kümesi $\mathcal S$ olsun. Tam sayı katsayılı bir $P$ polinomu, her $n$ negatif olmayan tam sayısı için $$P(n) \in \mathcal S \iff n \in \mathcal S$$ koşulunu sağlıyorsa, $P$ polinomunun derecesinin tek olduğunu gösteriniz.