Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2025

$100 \times 2025$ satranç tahtasının bazı birim karelerine kırmızı veya beyaz renkli bir bilye yerleştirilmiştir. Aynı renkli herhangi iki bilyenin bulundukları birim kareler ortak köşe veya kenar paylaşmıyorsa, tahtadaki toplam bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

$1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_{16} \leq 33$ gerçel sayılar olmak üzere, $$P=\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_3}{a_4} + \dots + \dfrac{a_{15}}{a_{16}}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$$3n^3-7n^2-15n+35$$ ifadesinin bir tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri birbirlerine diktir. $AC \cap BD=E$ ve $[BD]$ doğru parçasının orta noktası $M$ olsun. $AEM$ üçgeninin çevrel çemberi, $BEC$ üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kez $K$ noktasında ve $DEC$ üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kez $L$ noktasında kesişiyor. $|KM|=|LM|$ olduğunu gösteriniz.