Bir $ABC$ üçgeninin $[BC], [AC], [AB]$ kenarları üzerinde sırasıyla $K,L,M$ noktaları $|BK|=|BM|$ ve $|CK|=|CL|$ olacak şekilde alınıyor. $s(\widehat{BAC})=50^{\circ}$ ise $s(\widehat{LKM})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 40^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 50^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 65^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 80^{\circ}$

$2025^3$ sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $375$ sayısının bir katı değildir?

$\textbf{a)}\ 43  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 58  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 91$

Bir kutudaki topların her biri kırmızı, beyaz, siyah ve mavi renklerinden birine boyalıdır. Bu kutuya, kutudaki kırmızı top sayısı kadar kırmızı top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%20$ artıyor. Bundan sonra, kutuya kutudaki beyaz top sayısı kadar beyaz top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%25$ artıyor. Son olarak, kutuya kutudaki siyah top sayısı kadar siyah top ekleniyor ve bunun sonucunda kutudaki toplam top sayısı $\%30$ artıyor. Buna göre, başlangıçta kutuda bulunan topların yüzde kaçı mavidir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 25$

Herhangi ikisinin boyutu birbirinden farklı olan $8$ topun her biri kırmızı, beyaz ve mavi renklerinden birine, en az bir top kırmızı ve en az bir top beyaz olmak koşuluyla kaç farklı şekilde boyanabilir?

$\textbf{a)}\ 5896  \qquad\textbf{b)}\ 5924  \qquad\textbf{c)}\ 5986  \qquad\textbf{d)}\ 6050  \qquad\textbf{e)}\ 6102$

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğu verilmiştir. $[AB]$ kenarı üzerinde $K$ ve $L$ noktaları, $K$ noktası $A$ ve $L$ noktaları arasında yer alacak ve $2|CD|=3|BL|=4|AK|$ olacak şekilde alınıyor. $Alan(ABCD)=40$ ve $Alan(BCD)=12$ ise $Alan(KLC)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

Kaç $n$ tam sayısı için $\dfrac{n^2-111^2}{n+11}$ ifadesi bir tam sayıdır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 66$

$a$ ve $b$ verilmiş gerçel sayılar olsun. $x_1,x_2, \cdots $ dizisi her $n$ pozitif tam sayısı için $x_n=(a+n)^2+(b+n)^2$ olarak tanımlanıyor. $x_5-x_1=100$ ise $x_9-x_5$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 108  \qquad\textbf{c)}\ 124  \qquad\textbf{d)}\ 148  \qquad\textbf{e)}\ 164$

Bir doğru üzerine birkaç bilye dizilmiştir. Her bilye ya kırmızı ya da beyaz renktedir. Herhangi $12$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirine eşittir fakat herhangi $14$ ardışık bilyeden kırmızı ve beyaz olanların sayıları birbirinden farklıdır. Buna göre, doğru üzerindeki toplam bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Kenar uzunluğu $8$ olan bir $ABCD$ karesinin köşegenlerinin kesişim noktası $O$ olsun. $[AB]$ kenarı üzerinde yer alan $K$ ve $L$ noktaları $|BK|-|AL|=4$ koşulunu sağlıyor. $[KL]$ doğru parçasının orta noktası $M$ olmak üzere, $|OM|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt5  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 6$

Bir masa üzerindeki taşların bazıları kırmızı, bazıları beyaz renktedir ve kırmızı taşların sayısı beyaz taşların sayısından bir fazladır. Her taşın ağırlığı $1$, $15$ veya  $50$ gramdır. Beyaz taşların toplam ağırlığı $B$ ve kırmızı taşların toplam ağırlığı $K$ olsun. $B>K$ ise $B-K$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a^2+4b^2+c^2=2ab+ac+2bc$ eşitliği sağlanıyorsa $\dfrac{a+b}{c}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

Bir masa üzerinde $m$ ve $n$ bilye içeren iki öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu ya her iki öbekten birer bilye alıyor, ya sadece istediği bir öbekten bir bilye alıyor ya da istediği bir öbekten diğer öbeğe bir bilye aktarıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun $(m,n)  = (9,21), (11,11), (10,33), (16,24)$ ve $(25,26)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Bir $ABCDEFGH$ düzgün sekizgeninin iç bölgesinde $K$ ve $L$ noktaları ile dış bölgesinde bir $S$ noktası, $ABKL$ bir kare ve $ABS$ bir eşkenar üçgen olacak şekilde alınıyor. Buna göre, $s(\widehat{CKS})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 67.5^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 82.5^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}$

$\overline{AB}$ ve $\overline{CD}$ iki basamaklı sayılar olmak üzere, dört basamaklı $\overline{ABCD}$ sayısı $\overline{AB}$ $\cdot$ $\overline{CD}$ sayısı ile tam bölünmektedir. Buna göre, $\overline{ABCD}$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Bir masa üzerinde her biri $10$ toptan oluşan $3$ öbek bulunuyor. Bu $30$ topun her biri kırmızı veya beyaz renktedir. Aynı renkli topların ağırlıkları birbirine eşit olup bir kırmızı top bir beyaz toptan daha ağırdır. Bu öbeklerdeki topların toplam ağırlıkları $12$, $116$ ve $129$ ise bu $3$ öbekte toplam kaç tane kırmızı top vardır?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 17  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 19$

Bir tahtaya başlangıçta $1,2, \dots , 2025$ sayıları yazılmıştır. Her işlemde tahtada yazılı bulunan iki sayı silinip tahtaya bu iki sayının toplamı yazılıyor. $N$ işlem sonucunda tahtada toplamları $2025$ olan bir veya birkaç sayı bulunmuyorsa $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 405  \qquad\textbf{b)}\ 498  \qquad\textbf{c)}\ 507  \qquad\textbf{d)}\ 582  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$l_1$ ve $l_2$ birbirlerine paralel olan iki farklı doğru olsun. $l_1$ doğrusu üzerinde $P,R,S,T$ noktaları bu sırayla yer alan noktalar olsun. $l_2$ doğrusu üzerindeki $L$ ve $K$ noktaları $|LP|=|LR|$, $|KL|=|KR|$, $|SR|=|SK|$, $|TS|=|TK|$ ve $PL \parallel KT$ koşullarını sağlamaktadır. Buna göre, $s(\widehat{LRS})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 110^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 120^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 130^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 140^{\circ}$

Bir tahtada hiçbiri $2025$ ten büyük olmayan $N$ farklı pozitif tam sayı vardır. Tahtadaki birbirinden farklı herhangi $a$ ve $b$ sayıları için $a-b$ sayısı $a+b$ sayısını bölmüyorsa $N$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 405  \qquad\textbf{b)}\ 506  \qquad\textbf{c)}\ 675  \qquad\textbf{d)}\ 836  \qquad\textbf{e)}\ 1024$

$x=\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}$ olmak üzere, $\dfrac{x^3-3x^2+x-2}{x^2-2x+2}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

$4 \times 4$ satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, $2 \times 2$ boyutlarındaki her karede birbirine eşit iki sayı bulunacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu satranç tahtasında en fazla kaç farklı sayı bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 13$

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası veriliyor. $|AB|=|AD|=13$, $|BD|=10$ ve $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına inilen yüksekliğin uzunluğu $16$ ise $[CD]$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{76}{9}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $a$ pozitif tam sayısı için, hem $a=m+n+ebob(m,n)+ekok(m,n)$ olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayıları, hem de $a=p^k$ olacak şekilde $p$ asal sayısı ve $k$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa $a$ sayısına $\textit{güzel}$ diyelim. $2025$ ten küçük kaç güzel sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$P(x)=2x^2-3ax+a-10$ ve $Q(x)=x^2-2ax+a^2-5$ polinomlarının her ikisinin de kökü olan bir gerçel sayı bulunmasını sağlayan $a$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

Bir masa üzerinde sırasıyla $55,60,65,70,75,80$ bilye içeren $6$ kutu vardır. Her işlemde en az $5$ bilye içeren bir kutu seçiliyor ve bu kutudan $5$ bilye alınıp diğer kutuların her birine birer bilye dağıtılıyor. Birkaç işlem sonucunda $N$ bilye içeren bir kutu elde edilebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 385  \qquad\textbf{b)}\ 390  \qquad\textbf{c)}\ 395  \qquad\textbf{d)}\ 400  \qquad\textbf{e)}\ 405$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=|BC|=8$ ve $|AC|=12$ olsun. Bu üçgenin $s(\widehat{BAC})$ açısının dış açıortayı ile $C$ noktası ve $[AB]$ kenarının orta noktasından geçen doğrunun kesişim noktası $D$ ise $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{9\sqrt2}{4}  \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt3$

$a_1,a_2, \dots ,a_{2025}$ pozitif bileşik sayılar olmak üzere, $a_1+a_2+ \cdots +a_{2025}$ şeklinde gösterilemeyen en büyük tam sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8096  \qquad\textbf{b)}\ 8101  \qquad\textbf{c)}\ 8103  \qquad\textbf{d)}\ 8112  \qquad\textbf{e)}\ 8115$

$x,y,z$ gerçel sayıları
\begin{align*}
(x-1)(y-2) &= 3 \\
(y-1)(z-2) &= 3 \\
(z-1)(x-2) &= 1
\end{align*}
denklem sistemini sağlıyorsa $x+y+z$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{19}{2}  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{3}  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$33$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanana $1$, kaybedene $0$, berabere kalanların her birine $1/2$ puan veriliyorsa turnuvada tam olarak $7$ puan toplayan öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 18$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inilen yüksekliğin ayağı $D$ olsun. $D$ noktasından $AB$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ olsun. $CE$ ve $AD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|BE|=9$, $|AE|=16$ ve $|CD|=12$ ise $|AF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

$33^{33}$ sayısının, $8$ ile bölümünden kalanı $3$ olan kaç tane pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 289  \qquad\textbf{b)}\ 306  \qquad\textbf{c)}\ 450  \qquad\textbf{d)}\ 510  \qquad\textbf{e)}\ 578$

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{(a^2+3)(b^3+2)(a^4+9b^4)}{a^3b^3}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 48  \qquad\textbf{b)}\ 36\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 48\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 120  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$50 \times 50$ satranç tahtasının her birim karesi kırmızı ve mavi renklerinden birine boyanmıştır. En az $26$ birim karesi kırmızı renkte olan satır sayısı ile en az $26$ birim karesi mavi olan sütun sayısının toplamı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 93  \qquad\textbf{b)}\ 94  \qquad\textbf{c)}\ 95  \qquad\textbf{d)}\ 96  \qquad\textbf{e)}\ 98$