Tübitak Lise 2. Aşama - 1998

İkizkenar $ABC$ üçgeninin ($\vert AB\vert =|AC|$) $[BC]$ tabanı üzerinde $\vert BD\vert :\vert DC\vert =2:1$ olacak biçimde bir $D$ noktası, $[AD]$ üzerinde ise $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BPD})$ olacak biçimde bir $P$ noktası alınıyor. $m(\widehat{DPC})=m(\widehat{BAC})/2$ olduğunu gösteriniz.

Tüm $0\le a\le b\le c$ gerçel sayıları için $$(a+3b)(b+4c)(c+2a)\ge 60abc$$ olduğunu gösteriniz.

Bir çemberin üstündeki noktalar üç renge boyanıyorlar. Köşelerini çember üstünde aynı renge boyanmış noktaların oluşturduğu sonsuz sayıda ikizkenar üçgenin bulunduğunu gösteriniz.

$x^{3}+3367=2^{n}$ eşitliğini sağlayan tüm $x$ ve $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.

$XOY$ açısının $[OX$ ve $[OY$ ışınları üzerinde sırasıyla $ M$ ve $N$ değişken noktaları alındığında $\vert OM\vert +\vert ON\vert $ sabit ise, $[MN]$ nın orta noktasının geometrik yerini belirleyiniz.

$n\times n$ bir satranç tahtasındaki karelerin köşelerinden bazıları, bu satranç tahtasının karelerinden oluşan her $k\times k$ ( $1\le k\le n$) karenin en az bir kenarının üstünde boyanmış bir nokta olacak biçimde boyanıyor. Eğer bu koşulu sağlamak için boyanması gereken en az nokta sayısını $\ell(n)$ ile gösterirsek, $$\lim _{n\to \infty }\dfrac{\ell(n)}{n^{2}}=\dfrac{2}{7}$$ olduğunu kanıtlayınız.