$n\geq 3$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n$ köşeli bir tam çizgenin her kenarına birer gerçel sayı aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde yazılmıştır:

     (i) Çizgedeki her üçgenin kenarlarına yazılan sayılardan ikisi birbirine eşit olup diğer sayı ise bu sayılardan büyüktür.

    (ii) Her köşenini ağırlığı, o köşeden çıkan kenarlara yazılan sayıların toplamı olmak üzere, tüm köşelerin ağırlıkları birbirine eşittir.

Buna göre, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve $A, B, C$ köşelerinden indirilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D, E, F$ olsun. $DEF$ üçgeninin çevrel çemberine $D$ noktasında teğet olan bir çemberin $EF$ doğrusu ile kesiştiği noktalar $P$ ve $Q$ olsun. $PH$ ve $QH$ doğruları ile $BHC$ üçgeninin çevrel çemberinin ikinci kesişim noktaları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $A$ noktasından geçen ve $EF$ doğrusuna dik olan doğrunun $BC$ doğrusu ile kesiştiği nokta $T$ olsun. $R, S, D, T$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Her $n \geq 2$ tam sayısı için $f(n)$ ile $n$ sayısının farklı asal bölenlerinin çarpımını gösterelim (örneğin, $f(5)=5$, $ f \left( 8 \right)=2 $ ve $f(12)=6$ olur). $a_1,a_2,...$ dizisi, $a_1 \geq 2$ bir tam sayı ve her $n \geq 1$ için
$$a_{n+1}=a_n+f(a_n)$$
olacak şekilde tanımlanıyor. Her $p$ asal sayısı için, $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ dizisinde $p$ ile bölünen bir terim bulunduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı ve $n$ sayısının tüm pozitif bölenleri $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$ olsun.

$$\begin{array}{rcl}
2d_2+d_4+d_5 &=&  d_7 \\
d_3d_6d_7 &=&  n \\
(d_6+d_7)^2 &=&  n+1
\end{array}$$

eşitlikleri sağlanıyorsa $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Her $x,y,z \in \mathbb R^+$ için
$$\left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(y)}{f(z)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(z)}{f(x)} \right \} = \left \{ \dfrac{x}{y} \right \} + \left \{ \dfrac{y}{z} \right \} + \left \{ \dfrac{z}{x} \right \}$$
denklemini sağlayan tüm $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

Not. Bir $x$ gerçel sayısı için, $\lfloor x \rfloor$ sayısı $x$'in tam değeri olmak üzere, $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ olarak tanımlanıyor: $\{2.7\}=0.7$ ve $\{4\}=0$.

$m,n \geq 2$ tam sayılar olmak üzere, $m \times n$ satranç tahtasının bazı birim karelerine birer kale, her kale tek sayıda kale tarafından tehdit edilecek şekilde yerleştirilmiştir. Buna göre, satranç tahtasının üzerindeki kale sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.