$5x^{2}-6xy+7y^{2}=383$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı çiftlerini bulunuz.

Bir dışbükey $ABCDE$ beşgeninin iç bölgesindeki herhangi bir $F$ noktasının $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ ve $EA$ doğrularına uzaklığı sırasıyla $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ ve $a_{5}$ ile gösteriliyor. Bu beşgenin $A$, $B$, $C$, $D$ ve $E$ açılarının içaçıortayları üzerinde, $|AF_{1}|=|AF|$, $|BF_{2}|=|BF|$, $|CF_{3}|=|CF|$, $|DF_{4}|=|DF|$ ve $|EF_{5}|=|EF|$ eşitlikleri sağlanacak $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ ve $F_{5}$ noktaları alınıyor. $F_{1}$ in $EA$, $F_{2}$ nin $AB$, $F_{3}$ ün $BC$, $F_{4}$ ün $CD$ ve $F_{5}$ in $DE$ doğrusuna uzaklığı sırasıyla $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $b_{4}$ ve $b_{5}$ ise $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\le b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$$ olduğunu ispatlayınız.

$n>1$ tek, $k$ de pozitif bir tam sayı olsun. $n$ seçmen, $k$ adaydan oluşan $A$ kümesine ait bir üyeyi seçerken aşağıda tanımlanan "çoğunlukçu uzlaşı'' sistemini kullanmaktadır. Buna göre, her seçmen, adayları kendi tercihine göre bir sütun halinde yukarıdan aşağıya doğru sıralar. Bu "oy sütunları'' (herhangi bir sırayla) yan yana yazılarak $k\times n$ bir "oy matrisi'' elde edilir.
$a\in A$ adayının oy matrisinin $i.$ sırasında kaç kez geçtiğini $a_{i}$ sayısı ile gösterelim; $l_{a}$ tam sayısı da $\sum\limits_{i=1}^{l}{a_{i}} > \dfrac n2$ eşitsizliğini sağlayan en küçük $l$ sayısı olsun. $\overline l=\min\limits_{a\in A} l_{a}$ olmak üzere; $\lbrace a \in A | l_{a}= \overline l \rbrace $ kümesinin tek elemanlı olmasına yol açan oy matrislerine geçerli oy matrisleri diyeceğiz ve böyle her matris için, çoğunlukçu uzlaşıya göre yukarıdaki kümeye ait tek aday seçilmiş olacaktır.
Öte yandan, $\omega _{1}\ge \omega _{2}\ge \ldots \ge \omega _{k}\ge 0$ koşulunu sağlayan $\omega _{1}, \omega _{2}, \ldots ,\omega _{k}$ gerçel sayılarına bir ağırlık sistemi; her geçerli oy matrisi için de, $\sum\limits_{i=1}^{k}{\omega _{i}a_{i}}$ sayısına $a$ adayının toplam ağırlıklı puanı diyelim. Bir $\omega _{1}, \omega _{2}, \ldots ,\omega _{k}$ ağırlık sistemi, tüm geçerli oy matrisleri için, çoğunlukçu uzlaşıya göre seçilen adayın toplam ağırlıklı puanının diğer bütün adaylarınkinden büyük olmasına yol açıyorsa, bu ağırlık sistemi çoğunlukçu uzlaşıyı temsil ediyor diyeceğiz.

• $k=3$ için, çoğunlukçu uzlaşıyı temsil eden bir ağırlık sisteminin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.
• $k>3$ ise, böyle bir ağırlık sisteminin bulunmadığını gösteriniz.

Tüm $a,b,c,d$ ve pozitif $e$ gerçel sayıları için $$(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\le e^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+f(e)(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})$$ eşitsizliğini doğru kılan en küçük $f(e)$ değerini $e$ cinsinden bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ açısının iç ve dış açıortaylarının $BC$ doğrusunu kestiği noktalar $D$ ve $E$ ile gösterilmek üzere, $[DE]$ çaplı $F$ merkezli çember ile $ABC$ üçgeninin $O$ merkezli çevrel çemberi ve bu iki çembere dıştam teğet olan bir $d$ doğrusu çiziliyor. $d$ doğrusunun çembere değdiği noktalardan $FO$ doğrusuna indirilen dikmelerin ayakları $P$, $Q$ ve bu iki çemberin ortak kirişinin uzunluğu $m$ ise, $\vert PQ\vert =m$ olduğunu ispatlayınız.

Üç boyutlu uzayda, her biri, kenarları $x$, $y$ ve $z$ eksenlerine paralel bir dikdörtgenler prizması biçiminde olan $D_{1},D_{2},\ldots ,D_{n}$ bölgeleri verilmiş olsun. Her $D_{i}$ bölgesinin $x$ eksenine, $y$ eksenine ve $z$ eksenine paralel olan kenarlarının uzunluklarını sırasıyla $x_{i}$, $y_{i}$ ve $z_{i}$ ile gösterelim. Tüm $D_{i}$ ve $D_j$ bölgeleri için, $x_{i}<x_{j}$ veya $y_{i}<y_{j}$ veya $z_{i}<z_{j}$ ise, $x_{i}\le x_{j}$ ve $y_{i}\le y_{j}$ ve $z_{i}\le z_{j}$ dir. $\bigcup\limits_{i=1}^{n}{D_{i}}$ bölgesinin hacmi $1997$ ise, $\lbrace D_{1}, D_{2}, \ldots ,D_{n}\rbrace $ kümesinin aşağıdaki koşulları sağlayan bir $\lbrace D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots ,D_{i_{m}}\rbrace $ altkümesinin bulunduğunu gösteriniz.

• $k\ne l \Rightarrow D_{i_{k}}\cap D_{i_{l}} = \emptyset $
• Hacim $(\bigcup\limits_{k=1}^{m}{D_{i_{k}}}) \geq 73$.