Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2024 Çözümleri

İki asal sayının toplamı olarak yazılabilen asal sayıların kümesi $A$, iki asal sayının farkı olarak yazılabilen asal sayıların kümesi de $B$ olsun. $A \cap B$ kümesi kaç elemanlıdır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{e)}\ 6$

$a,b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olup, $$1 \div (a+1 \div ( b+1 \div c ) ) = \dfrac{21}{68}$$ ise $a+b+c$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 16$

$x>y$ olmak üzere, $$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}=\dfrac{34}{3}$$ ise $\dfrac{x+y}{x-y}$ oranının değeri kaç olur?

$\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{17}{3}} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{8}{3}} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac{5}{2}} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{10}{7}} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{\dfrac{17}{2}}$

Öykü $1$ metre kalınlığında ve $6$ metre ile $7$ metre uzunluğunda iki duvarın arasına, köpeğini şekildeki gibi $10$ metrelik bir ip ile bağlıyor. Köpeğin tasmasının bağlı olduğu boyun bölgesinin ulaşabileceği alanların toplam değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 29 \pi \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{61}{2} \pi \qquad\textbf{c)}\ 27 \pi \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{53}{2} \pi \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{69}{2} \pi$

$a,b,c,d$ ve $e$ sayıları $0,3$ ve $4$ değerlerini almak üzere, $$a+b+c+d+e$$ toplamının bir çift sayı olmasını sağlayan kaç sıralı $(a,b,c,d,e)$ beşlisi oluşturulabilir?

$\textbf{a)}\ 144 \qquad\textbf{b)}\ 124 \qquad\textbf{c)}\ 122 \qquad\textbf{d)}\ 133 \qquad\textbf{e)}\ 136$

$A=\left( \dfrac{123454320}{123454321} \right) ^2 + \left( \dfrac{123454322}{123454321} \right) ^2$ ve $B=2\left( \dfrac{1}{123454321} \right) ^2$

olduğuna göre, $A-B$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac23$

Aşağıdaki toplam hesaplandıktan sonra ortaya çıkan tam sayının yazılışında kaç tane $2$ rakamı bulunacaktır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 1$

$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ve $B=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ kümeleri için,

$C \subseteq B$ ve $s(A\setminus C)=3$ olacak şekilde kaç farklı $C$ kümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 30 \qquad\textbf{b)}\ 45 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ 60$

Berk, şekilde gördüğünüz aynı merkezli ve yarıçapları $3,6,9$ cm olan dairelerden oluşan bir dart tahtasına sürekli olarak dart atıyor. Her defasında dart tahtadaki bir bölgeye isabet ediyor. Bu atış istenildiği kadar uzun süre devam ettiği düşünülürse Berk'in ortalama puanı kaç olur?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 5,5 \qquad\textbf{e)}\ 4,5$

$A(1)=\dfrac11,$
$A(2)=\dfrac12 + \dfrac22,$
$A(3)=\dfrac13 + \dfrac23 + \dfrac33,$
$A(4)=\dfrac14 + \dfrac24 + \dfrac34 + \dfrac44$

şeklinde devam edilerek en son

$A(9)=\dfrac19 + \dfrac29 + \dfrac39 + \cdots + \dfrac89 + \dfrac99$ yazılıyor.

$S=A(1)+A(2)+A(3)+ \cdots + A(9)$ toplamını hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ 25 \qquad\textbf{b)}\ 26 \qquad\textbf{c)}\ 27 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 30$

$x$ sayısı pozitif bir tam sayı olmak üzere,

$x^x=2^{24} \cdot 3^x$ olduğuna göre, $\left( \dfrac{x}{4} \right) ^3$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 27 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 81 \qquad\textbf{e)}\ 64$

Ağırlığının $\%97$'si su olan $15$ kilogramlık bir karpuz, uzun süre güneş altında kaldıktan sonra su miktarı, ağırlığının $\%95$'ini oluşturmuştur. Karpuzun güneş altında kaldıktan sonraki ağırlığı kaç kg olmuştur?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Aşağıdaki şekilde verilen konveks $ABCD$ dörtgeninde $m(\angle{BCD})=90^{\circ}$, $|AB|=|AC|$ ve $AC \cap BD =K$'dır. $AKD$ ve $BCK$ üçgenlerinin alanları sırasıyla $10 \ cm^2$ ve $25 \ cm^2$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?

$\textbf{a)}\ 55 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 105 \qquad\textbf{e)}\ 90$

Çözüm:

$BA$ ile $CD$, $L$ de kesişsin. $\triangle BLC$ bir dik üçgen ve $A$ bu dik üçgenin hipotenüsünün orta noktasıdır.
$[ABK]=S$ dersek $[ADL]=[ABD]=S+10$.
$[ABC]=[ACL]=S+25=S+20+[DKC] \Longrightarrow [DKC]=5$.
$5S=10\cdot 25\Longrightarrow S=50$ ve $[ABCD]=50+5+10+25=90$

$x^2+ax-(4a+1)=0$ denkleminin iki pozitif tam sayı çözümünün varlığını garanti eden tüm $a \in \mathbb Z$ sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -36 \qquad\textbf{b)}\ -44 \qquad\textbf{c)}\ -40 \qquad\textbf{d)}\ -48 \qquad\textbf{e)}\ -16$

$x^4+x+1=0$ denkleminin kökleri $a,b,c,d$ olmak üzere
$$S=\dfrac{a^2}{a^3+1}+\dfrac{b^2}{b^3+1}+\dfrac{c^2}{c^3+1}+\dfrac{d^2}{d^3+1}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad \qquad\qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad \qquad \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\qquad \qquad\textbf{e)}\ 9$

Çözüm 1:

Cevap: $\boxed{B}$

Daha genel bir biçimde $n\geq 2$ için $x^n+x+1=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2,\dots,x_n$ olmak üzere

$$S=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{x_k^{n-1}+1}}=n-1$$
olduğunu gösterelim. Öncelikle ifadeyi düzenlemek amaçlı denklemle uğraşırsak ($0$'ın kök olmaması sonucu)
$$x^n+x+1=0 \Longleftrightarrow x^{n-1}+1=-\dfrac{1}{x}$$
olarak elde edebiliriz. Bunu toplamdaki her kesrin paydasına uyguladığımızda
$$S=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{x_k^{n-1}+1}}=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{-\dfrac{1}{x_k}}}=-\sum_{k=1}^{n}{x_k^{n-1}}$$
olarak elde edilebilir. Fakat, az önce denklemden $x^{n-1}+1=-\dfrac{1}{x}$ olarak elde etmiştik. Yani $x^{n-1}=-1-\dfrac{1}{x}$ tir. Bunu kaldığımız yerde koyarsak
$$S=-\sum_{k=1}^{n}{x_k^{n-1}}=n+\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}$$
olarak elde edebiliriz. Yani $\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}=-1$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bu ise kök katsayı ilişkisinden başkatsayımız $a_n$ ve sabit terimimiz $a_0$ olmak üzere
$$\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}=\dfrac{\sum\limits_{cyc}{x_1x_2\cdots x_{n-1}}}{\prod{x_1}}=\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}.a_1}{\left(-1\right)^{n}.a_0}=-1$$
şeklinde barizdir. Bundan dolayı $S=n-1$ olarak elde edilir.

Probleme özel $n=4$ verildiğinde cevap $\boxed{S=3}$ olarak elde edilir.

Çözüm 2:

Yanıt: $\boxed{B}$

$a$ denklemin bir kökü olduğundan $a^4+a+1=0$ yani $a^4=-a-1=a\cdot a^3$ ve $a^3=-\dfrac{a+1}{a}$ değerini uyarlayarak toplamda yerine yazarsak $$S=\dfrac{a^2}{a^3+1}+\dfrac{b^2}{b^3+1}+\dfrac{c^2}{c^3+1}+\dfrac{d^2}{d^3+1}=-(a^3+b^3+c^3+d^3)=\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b}+\dfrac{c+1}{c}+\dfrac{d+1}{d}=4+\dfrac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$$ olur.

Vieta teoreminden köklerin üçlü çarpımları $bcd+acd+abd+abc=-1$ ve kökler çarpımı $abcd=1$ olacağından $$S=3$$ bulunur.

Not: Şöyle de düşünüebilir: $\dfrac{a^2}{a^3+1}=\dfrac{a^3}{a^4+a}=\dfrac{a^3+1-1}{a(a^3+1}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^4+a}=\dfrac{1}{a}+1$

$10$ tane birbirinin aynısı matematik kitabı, $9$ tane birbirinin aynısı fizik kitabı ve $1$ tane kimya kitabı bir rafa herhangi komşu iki kitap aynı dersin kitabı olmayacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

$\textbf{a)}\ 38 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 35$

$x$ ve $y$ reel sayıları için

$\sqrt{x \sqrt[5]{y}}=6^6$ ve $\sqrt[3]{y \sqrt[5]{x}}=4^4$

eşitlikleri sağlanıyorsa $x \cdot y$ tam sayısının kaç pozitif tam sayı böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 321 \qquad\textbf{b)}\ 300 \qquad\textbf{c)}\ 360 \qquad\textbf{d)}\ 341 \qquad\textbf{e)}\ 310$

$ABC$ üçgeninde $|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|AC|=7$'dir. $A$ ve $B$ köşelerinden çizilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ olsun. Buna göre, $CDE$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{25\sqrt6}{24} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{18\sqrt6}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac52 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac73 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{4\sqrt6}{3}$

$x<y<z$ olmak üzere,$$x+x \cdot y+x \cdot y \cdot z=1111$$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 10$

Bir kasabadaki telefon numaraları $6$ rakamdan oluşmakta ve aşağıdaki üç kurala uygun olması gerekmektedir:

$\blacksquare$ Bir telefon numarasında en az bir tane sıfırdan farklı rakam olmalıdır.

$\blacksquare$ İlk üç rakamın toplamı ile son üç rakamın toplamı eşittir.

$\blacksquare$ Tek sırada olanların toplamıyla, çift sırada olanların toplamı birbirine eşittir. Örneğin, $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline 0 & 5 & 4 & 1 & 5 & 3 \\ \hline \end{array}$$ bu kasabadaki telefon numaralarından biridir. $$0+4+5=5+1+3$$ eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz. Bu kasabada birbirinden farklı en fazla kaç telefon numarası olabilir?

$\textbf{a)}\ 6400 \qquad\textbf{b)}\ 6440 \qquad\textbf{c)}\ 6699 \qquad\textbf{d)}\ 6644 \qquad\textbf{e)}\ 6624$

$x,y \in \mathbb R$ olmak üzere, $x^2+y^2=\dfrac32$ ise $x+y-xy$ değeri en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac34 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac54 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac94$

$Q(x)$ tam sayı noktalarda tam sayı değer alan bir polinom olmak üzere,
$$P(x)=3x-3+(x-1)(x-2)Q(x)$$
biçiminde tanımlanıyor. Bir $n>3$ tam sayısı için $P(n)=n!$ eşitliğini sağlayan derecesi en küçük $P(x)$ polinomu için $P(7)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 248 \qquad\textbf{b)}\ 216 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 180 \qquad\textbf{e)}\ 288$

Aşağıdaki şekilde verilen $AB$ çaplı yarım çemberde $AB$ yayının orta noktası $C$'dir. $BC$ yayının üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $CD \cap AB = E$, $|DE|=6$, $|CD|=4$ olduğuna göre, $|BE|=x$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt5 \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt6$

Pascal yamuğunda her satırdaki sayı bir üst satırdaki komşu iki sayının toplanmasıyla elde edilir.

Pascal yamuğunu aşağıya doğru doldurmaya devam edersek, hangi satırındaki ardışık üç sayı sırasıyla $2,3$ ve $4$ ile orantılı olur? Örneğin, sırasıyla $2,3,2$ ile orantılı ardışık üç eleman dördüncü satırdadır : $4,6,4$.

$\textbf{a)}\ 42 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 34 \qquad\textbf{d)}\ 43 \qquad\textbf{e)}\ 44$

$a,b,c$ harfleri yardımıyla oluşturulan ve $a$ harfinin çift sayıda bulunduğu tüm $40$ harfli kelimelerin sayısı $S$ olsun. $S$ sayısının $55$ ile bölümünden kalan kaçtır? (Uyarı : Sıfır da bir çift sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 54 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 15$

$m$ ve $n$ pozitif tam sayıları için

$\sqrt[m]{7} \sqrt[n]{49}=\sqrt[7]{7}$

eşitliğini sağlayan tüm $n$ değerlerinin toplamını bulunuz.

Not : $p,q \in \mathbb Z^+$ olmak üzere $\sqrt[p]{a^q}$ ifadesi üslü olarak $a^{q/p}$ biçiminde yazılabilir.

$\textbf{a)}\ 248 \qquad\textbf{b)}\ 255 \qquad\textbf{c)}\ 232 \qquad\textbf{d)}\ 208 \qquad\textbf{e)}\ 108$

$ABC$ eşkenar üçgeninin sırasıyla $AC$ ve $BC$ kenarları üzerinde $F$ ve $E$ noktaları; $3|EC|=|FC|=6$ olacak şekilde alınıyor. $EF \cap AB = D$ ve $BF \perp FE$ olduğuna göre $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 12$

Çözüm:

Yanıt : $\boxed{E}$

$F$'den $BC$'ye inen dikme ayağı $T$ olsun. $30-60-90$'dan $|FT|=3\sqrt3,|ET|=1$'dir. $BEF$ üçgeninde öklitten $|BT|=27$'dir. Eşkenar üçgenin bir kenarının 30 olduğu görülür, buradan $|AF|=24$ elde edilir. $A$'dan geçip $BC$'ye paralel olan doğrunun $DE$ ile kesişimi $R$ olsun. Kelebek benzerliginden $|AR|=8$ olur. $DBE$ üçgeninde $AR$ paraleline göre benzerlikten $$\frac{|AD|}{|AD|+30}=\frac{8}{28}$$ ve $|AD|=12$ olur.

$f(a,b)=a+b+ab$ şeklinde tanımlanıyor. Buna göre,

$f \left( \dfrac12, f \left( \dfrac13, f \left( \dfrac14, f \left( \dfrac15, f \left( \dfrac16, f \left( \dfrac17, \dfrac18 \right) \right) \right) \right) \right) \right)$

değeri kaça eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac92 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac52 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac32$

$|AB|=2|BC|$ olan $ABCD$ dikdörtgeninin iç kısmına $AB$ ve $BC$ çaplı yarım çemberler çizilmiştir. Çemberler $B$'den farklı bir $F$ noktasında kesişmektedir. $F$ noktasının $DC$ kenarına olan uzaklığı $3 \ cm$ olduğuna göre, $ABCD$ dikdörtgeninin alanı kaç $cm^2$ dir?

$\textbf{a)}\ 180 \qquad\textbf{b)}\ 210 \qquad\textbf{c)}\ 450 \qquad\textbf{d)}\ 360 \qquad\textbf{e)}\ 270$

$a_1,a_2,a_3,...,a_{100}$ pozitif tam sayılardan oluşan bir aritmetik dizidir.

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=133$

$a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5}+a_{a_6}+a_{a_7}=553$

olduğuna göre $a_{100}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 210 \qquad\textbf{b)}\ 403 \qquad\textbf{c)}\ 440 \qquad\textbf{d)}\ 506 \qquad\textbf{e)}\ 434$

$A=\dfrac13 + \dfrac15 + \dfrac17 + \cdots + \dfrac{1}{97} + \dfrac{1}{99}$

$B=1 + \dfrac15 + \dfrac17 + \cdots + \dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{101}$

$C=1 + \dfrac13 + \dfrac15 + \cdots + \dfrac{1}{97} + \dfrac{1}{99}$

$D=\dfrac15 + \dfrac17 + \dfrac19 + \cdots + \dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{101}$

olduğuna göre, $A \cdot B - C \cdot D$ değerini hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \dfrac{98}{101} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{99}{101} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{98}{303} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{100}{303} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{100}{101}$

$u$ ve $v$ değişkenler ve $a_{ij} \ (i=0,1,...,n \ ; \ j=0,1,...,m)$ sayıları da herhangi sabitler olmak üzere, $$P(u,v)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \displaystyle \sum_{j=0}^{m} a_{ij}u^iv^j$$ ifadesine iki değişkenli polinom ve $a_{ij}$ sayılarına da bu polinomun katsayıları denir. $$(x^{2024}+y^{2024})$$ ifadesi $u=xy$ ve $v=x+y$ değişkenlerinin bir polinomu olarak yazılırsa katsayılar toplamı kaçtır?

(Örneğin, $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=v^3-3uv$ olup katsayılar toplamı $1+(-3)=-2$ olur.)

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ -1 \qquad\textbf{c)}\ -3 \qquad\textbf{d)}\ 2023 \qquad\textbf{e)}\ 2024$

Çözüm 1:

Yanıt : $\boxed{B}$

$f(a)=x^a+y^a$ olsun. İki tarafıda $v=x+y$ ile çarpıp düzenlersek $f(a+1)=vf(a)-uf(a-1)$ elde edilir. $f(a)$'nın $v$ ve $u$ cinsinden yazılımlarının katsayılar toplamı $g(a)$ olsun. Katsayı toplamı incelediğimizden $u=v=1$ olsun. Yerine koyarsak $g(a+1)=g(a)-g(a-1)$ olur. Benzer şekilde $g(a)=g(a-1)-g(a-2)$ olduğu açıktır. Taraf tarafa toplarsak $g(a+1)=-g(a-2)$ elde edilir. Buradan $g(2024)=g(2)$ bulunur. $f(2)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=v^2-2u$ olduğundan $g(2)=-1$'dir. Cevap $-1$ bulunur.

Çözüm 2:

Yanıt: $\boxed{B}$

$P(u,v)$ polinomunun katsayılar toplamı, $u=v=1$ yazınca elde edilen değere eşittir; yani aradığımız sayı $P(1,1)$’dir. Bu yüzden $xy=1$ ve $x+y=1$ şartlarını sağlayan bir $x,y$ çifti seçip
$P(1,1)=x^{2024}+y^{2024}$ değerini hesaplamamız yeterlidir. $xy=1$ ve $x+y=1$ olduğundan $x$ ve $y$,
\[
t^2-(x+y)t+xy=t^2-t+1=0
\]
denkleminin kökleridir. Buradan özellikle $x\neq -1$ ve $y\neq -1$ olduğu açıktır; çünkü $t=-1$ yazılırsa $1+1+1\neq 0$ olur. Şimdi $t^2-t+1=0$ eşitliğini $(t+1)$ ile çarpalım:
\[
(t+1)(t^2-t+1)=t^3+1=0.
\]
Dolayısıyla kökler için $x^3=-1$, $y^3=-1$ elde edilir. Artık üsleri $3$ ile indirgeriz. $2024=3\cdot 674+2$ olduğundan
\[
x^{2024}=x^{3\cdot 674+2}=(x^3)^{674}x^2=(-1)^{674}x^2=x^2
\]
ve benzer şekilde $y^{2024}=y^2$ bulunur. O hâlde $P(1,1)=x^{2024}+y^{2024}=x^2+y^2$ olur. Son olarak $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1^2-2\cdot 1=-1$. Demek ki $P(u,v)$ polinomunun katsayılar toplamı $-1$’dir.

$a_1,a_2,...,a_n$ sayıları $-1,0,1,2$ tam sayı değerlerinden herhangi birini alabilen sayılar olup,
$$\begin{array}{cc}a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 61 \\
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = 143 \end{array}$$ eşitliklerini sağlıyorsa $S=a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_n^3$ ifadesi en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 265 \qquad\textbf{b)}\ 230 \qquad\textbf{c)}\ 250 \qquad\textbf{d)}\ 270 \qquad\textbf{e)}\ 245$