Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama

$5^{4 \cdot 19} + 5^{3 \cdot 19} + 5^{2 \cdot 19} + 5^{19}$ sayısının $5^{20}+1$ sayısına bölümünden kalan $m \cdot 5^{n}$ biçimindeyse $m+n$ en az kaçtır? (Burada, $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır.)

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 120 \qquad\textbf{c)}\ 119 \qquad\textbf{d)}\ 129 \qquad\textbf{e)}\ 191$

$\left\{ \begin{array}{lcr} x^2+x\sqrt[3]{xy^2}=18 \\ y^2+y\sqrt[3]{yx^2}=50 \end{array}\right.$

olduğuna göre, $x^2+y^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 38 \qquad\textbf{b)}\ 41 \qquad\textbf{c)}\ 34 \qquad\textbf{d)}\ 43 \qquad\textbf{e)}\ 44$

Çözüm:

$\sqrt[3]{x}=a$ ve $\sqrt[3]{y}=b$ olsun. Denklem sistemi
$a^6 + b^4a^2 = 18$
$b^6 + a^4b^2 = 50$ olur
Taraf tarafa bölerek $\frac{b^4}{a^4}=\frac{25}{9}$ elde edilir. $b^2=5k,a^2=3k$ veya $b^2=-5k,a^2=3k$ olmalıdır. Ayrı ayrı inceleyelim. İlk durumda ilk denklmde yerine koyarak $k^3=\frac{1}{4}$ elde edilir. Bizden istenen ifade $a^6+b^6=152k^3=38$ elde edilir. İkinci durumda yeniden $k^3=\frac{1}{4}$ elde edilir. Cevap yine 38 gelir.

$K=1^n+2^n+3^n+4^n$ toplamının $10$ ile tam bölünmesini sağlayan, $2023$'ten küçük $n$ pozitif tam sayılarının sayısı $M$ ise $M$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 10$

$a_k=\dfrac{k}{81}$ olmak üzere,
$$S=\dfrac{a_1^2}{1+2a_1(a_1-1)} + \dfrac{a_2^2}{1+2a_2(a_2-1)} + \cdots + \dfrac{a_{80}^2}{1+2a_{80}(a_{80}-1)}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 40 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 60 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 80$

Şekilde $|AB|=|AC|$, $AH \perp BC$, $AD \perp EC$, $\angle{BAD}=\angle{DAH}$ ve $5|EB|=2|HC|$ ise $\dfrac{|AE|}{|BD|-|DH|}$ oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 45 \qquad\textbf{b)}\ 47 \qquad\textbf{c)}\ 55 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 40$

Çözüm:

$|AE|=x$ olsun. $EC \cap AH = P$ olsun. $|AP|$ da $x$ olur.
$menelaus$ teoremi yazalım. $\frac{5}{10}\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{|PH|} = 1$ $\Rightarrow$ $|PH|=1$. $\triangle{ABH}$'nde pisagordan $5^2+(x+1)^2=(x+2)^2$ $\Rightarrow$ $x=10$. Yine $\triangle{ABH}$'nde iç açıortay teoreminden $\frac{|BD|}{|DH|} = \frac{13}{12}$ gelir. $|BD|+|DH|=5$ olduğundan $|BD|=\frac{13}{5}$ ve $|DH|=\frac{12}{5}$ gelir. Zaten $|AE|=x=11$ olduğunu biliyoruz. Buradan cevap $\frac{11}{\frac{13}{5}-\frac{12}{5}}=55$ gelir.

$A,B,C,D,E$ rakamlar olmak üzere, $2 \leq A < B \leq C \leq D < E \leq 8$ koşulunu sağlayan kaç $ABCDE$ beş basamaklı sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 147 \qquad\textbf{b)}\ 132 \qquad\textbf{c)}\ 126 \qquad\textbf{d)}\ 156 \qquad\textbf{e)}\ 114$

$m$ ve $n$ sıfırdan farklı sayılar olmak üzere, $x^3-x^2-mx-n=0$ denkleminin kökleri $a,b,c$ ise, kökleri
$$\dfrac{a+b-1}{c^2}, \dfrac{b+c-1}{a^2},\dfrac{c+a-1}{b^2}$$
olan denklem aşağıdakilerden hangisidir ?
$$\textbf{a)}\ mx^3+nx^2-x+1=0 \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ nx^3+mx^2-x+1=0 \qquad \qquad\qquad\textbf{c)}\ mx^3-nx^2+x-1=0 \qquad \qquad \qquad$$
$$\textbf{d)}\ x^3-x^2 +nx-m=0\qquad\qquad\qquad\textbf{e)}\ nx^3-mx^2+x+1=0$$

$a$ ve $b$ reel sayıları için $a+b=a^2+b^2$ ise $a+7b$ ifadesinin alabileceği maksimum değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ \sqrt{63} \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{65}$

$a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
$$3a^2b^2c^2=10(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
eşitliği sağlanıyorsa $(a+b+c)$ toplamı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

ifade $a^2b^2(c^2-10)+a^2c^2(b^2-10)+b^2c^2(a^2-10) = 0$ olarak düzenlenebilir. İfadelerden en az birinin $<0$ olması gerekliliği açıktır. Bu yüzden sayılardan en az biri $\{1,2,3\}$ kümesinden olmalı. $a$'ya bu değerleri verip deneme yapalım. $a=1$ olsun. $7b^2c^2+10b^2+10c^2 = 0$ denkleminin pozitif tamsayılarda çözümü olmadığı açıktır. $a=2$ olsun. $b^2c^2 = 20(b^2+c^2)$ elde edilir. $(b^2-20)(c^2-20) = 400$ olur. Denenirse $(5,10)$ sağlar. $a+b+c = 17$. $a=3$ olsun. $17b^2c^2 = 90(b^2+c^2)$ elde edilir. Düzenlersek $b^2(17c^2-90) = 90c^2$ elde edilir. Buradan anlaşılır ki $17c^2-90 | 90c^2$. Buradan $17c^2-90 | 5c^2+450$ elde edilir. Bunun saglanması için $17c^2-90\leq5c^2+450$ olmalıdır. Buradan $c^2\leq45$ gelir. Bunu sağlayan c degerleri $(1,2,3,4,5,6)$ denendiğinde uygun $b$ değeri bulunamaz. $a+b+c$ nin alabileceği tek değer $17$dir.

Şekilde $|AB|=|AC|$, $m(\widehat{ABC})=12^{\circ}$, $m(\widehat{CBD})=33^{\circ}$ ve $m(\widehat{BCD})=45^{\circ}$ ise $AEB$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 78 \qquad\textbf{b)}\ 76 \qquad\textbf{c)}\ 79 \qquad\textbf{d)}\ 81 \qquad\textbf{e)}\ 71$

Çözüm:

$\triangle{ABC}$'nde $A$'dan inen yüksekliği içeren doğrunun $BD$ ile kesişimi $P$ olsun. $\triangle{ABC}$ ikizkenar olduğundan $\triangle{BPC}$ ikizkenar olur. Ayrıca $m(\widehat {PAC})=78^\circ$ olur. $m(\widehat {BDC})=102^\circ$ olduğundan $m(\widehat {PAC})+m(\widehat {BDC})=180^\circ$ olur ve $APDC$ çembersel olur. $\triangle{BPC}$ ikizkenarlığından $m(\widehat {CPA})=57^\circ$ olur. Az önceki çemberesllikten $m(\widehat {ADC})=57$ gelir. $\triangle{EDC}$'nde iç açılar toplamından cevap $78^\circ$ elde edilir.

$1,2$ ve $3$ rakamları kullanılarak yazılan ve $1$ rakamının çift sayıda bulunduğu $62$ basamaklı sayıların sayısı $S$ olsun. $2S-1$ sayısının $77$'ye bölümünden kalan kaçtır? (Uyarı : Sıfır da bir çift sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 76 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 75$

Çözüm:

$1$ sayısı $0$ adet bulunursa $2^{62}$ adet sayı elde edilebilir. $2$ adet kullanılırsa $2^{60}\cdot{\binom{62}{2}}$ adet sayı elde edilir.bu şekilde sorunun bizden istediği şeyin $\sum_{i=0}^{31} \binom{62}{2n}\cdot2^{62-2n}$ olduğu görülür. Buda binom mantığından $\frac {(2+1)^{62}+(2-1)^{62}}2$ ye eşittir. Yani $S$=$\frac{(3^{62}+1)}2$ dir. $2S-1$=$3^{62}$ olduğu söylenebilir. Fermat teoreminden $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ ve $3^{10} \equiv 1 \pmod {11}$ dir. Buradan $3^{62}$ nin $7$ ile bölümünden kalan $9$ ve $11$ ile bölümünden kalan $9$ dur. Dolayısıyla $77$ ile bölümünden kalanda $9$ olur.

$a$ ve $b$ tam sayıları $49 \leq a+b \leq 51$ ve $0,71 < \dfrac{b}{a} < 0,73$ eşitsizliklerini sağladığına göre, $a^2-b^2$ değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 9$

$f(n)$ ile $n$ doğal sayısının sıfırdan farklı rakamlarının çarpımını gösterelim. Örneğin, $f(1)=1$, $f(20)=2$, $f(205)=10$, $f(1023)=1 \cdot 2 \cdot 3=6$ ($n$ bir basamaklı ise $f(n)=n$ kabul ediyoruz). Buna göre,
$$S=f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(10000)+f(10001)$$
toplamının $50$'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 7$

Mete ve Berk'in her birinin çantasında $8$ top vardır. Her iki çantadaki toplar $1$'den $8$'e kadar numaralandırılmıştır. Mete ve Berk kendi çantalarından rastgele birer top çıkarıyorlar. Mete'nin çantasında kalan topların numaralarının toplamı $M$ ve Berk'in çantasında kalan topların numaralarının toplamı da $B$ olsun. $M-B$ farkının $3$'ün katı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{7}{16} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{13}{32} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{8} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{16} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{32}$

$x,y,z$ pozitif reel sayılar olup, $xyz(x+y+z-28)+1=0$ eşitliği sağlanıyorsa, $x$ sayısının alabileceği en büyük değerin karesinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 21$

Şekilde $ABCD$ bir dikdörtgen ve $ADE$ bir eşkenar üçgendir. Eşit yarıçaplı büyük çemberler dikdörtgene ve eşkenar üçgene teğettir. Küçük çember ise büyük çemberlere ve dikdörtgene teğettir ve eşkenar üçgenin $E$ köşesi bu çember üzerindedir. Küçük çemberin yarıçapı $3$ ise büyük çemberlerin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4+\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 5+2\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 5+\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 4+2\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 3+3\sqrt3$

Her takımın diğer takımlarla tam olarak bir kez oynadığı bir futbol turnuvası düzenleniyor. Hiçbir maçın berabere bitmediği bu turnuvada, her takım $11$ oyun kazanıp $11$ oyun kaybetmiştir. Buna göre, $A$'nın $B$'yi, $B$'nin $C$'yi ve $C$'nin $A$'yı yendiği üç takımdan oluşan kaç $\{A,B,C\}$ takım kümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 489 \qquad\textbf{b)}\ 511 \qquad\textbf{c)}\ 513 \qquad\textbf{d)}\ 488 \qquad\textbf{e)}\ 506$

$ABC$ bir kenarı $12$ olan bir eşkenar üçgendir. Dik kenarlarından biri $A$ noktasından geçen ve diğeri $[BC]$ kenarını kesen dik üçgenlerin dik köşelerinin geometrik yerinin belirttiği bölgenin alanını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 32 \pi + 24 \sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 24 \pi + 36 \sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 24(\pi + \sqrt3) \qquad\textbf{d)}\ 36(\pi +\sqrt3) \qquad\textbf{e)}\ 36 \pi + 24 \sqrt3$

Reel katsayılı ve sabitten farklı $P(x)$ polinomu, her $x$ reel sayısı için,
$$P(3P(x))=3P(P(x))+2(P(x))^2$$ eşitliğini sağlasın. $P(1)=-1$ olduğuna göre, $P(6)$'nın değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 7$

Çözüm:

Polinomun derecesi $n > 2$ ve başkatsayısı $a$ olsun. Sol tarafın derecesi $n^n$ dir. $n>2$ için $n^n > n^2$ olduğundan denklemin sağının başkatsayısı $3a^{n+1}$ dir. Sol arafınki ise $3^na^{n+1}$ olur. Bu ikisi birbirine eşit olduğundan $n = 1$ olur. Çelişki. $n\leq2$ olur. $n=1$ olamaz çünkü Sol arafın derecesi 1 olurken Sağ tarafınki 2 olur. $n=2$ dir. Polinom $P(x) = ax^2+bx+c$ olsun. $(a≠0)$.Sol tarafın başkatsayısı $9a^3$ Sağ tarafınki $3a^3+2a^2$ dir. $a=\frac{1}{6}$ dır. Polinomda $x=0$ yazalım. $P(3c) = 3P(c)+2c^2$ olur. Açarsak $3c^2+3bc+c = 3c^2+3bc+3c$ olur. $c=0$ dır. $P(1)=-1$ olduğundan da $b=\frac{-4}{3}$ elde edilir. $P(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{4x}{3}$ tür. $P(6) = 4$ elde edilir.

Bir doğru parçasını $5$ eşit parçaya bölen $6$ nokta veriliyor. Noktaların herhangi ikisini birleştiren doğru parçasını çap kabul eden çemberler çizilerek birbirinden farklı figürler elde edilmek isteniyor. Bir figürde birden fazla çember varsa bu çemberlerin ortak noktası olmaması gerekiyor. Buna göre kaç farklı figür elde edilebilir? (Hiç çember çizilmemiş ilk durum da sayılacaktır.)

Örneğin, bir doğru parçasını $3$ eşit parçaya bölen $4$ nokta verilseydi, aşağıda gösterilen $9$ farklı figür elde edilirdi :

$\textbf{a)}\ 51 \qquad\textbf{b)}\ 41 \qquad\textbf{c)}\ 47 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 42$

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2022 Çözümleri