$(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ ve $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ birer pozitif tam sayı dizisi olsun. Eğer her $x$ pozitif tam sayısı için $$ x=\sum\limits_{n=1}^{N}{x_{n}A_{n}},\quad 0 \leq x_n \leq a_n\quad (n=1,2,\dots,N) \text{ ve } x_N \neq 0$$ olacak şekilde tek bir $N$ pozitif tam sayısı ve tek bir $(x_{1},x_{2},\ldots, x_{N})$ tam sayı sıralı $N$ lisi varsa, $(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizisinin aşağıdaki koşulları sağladığını gösteriniz:

• Bir $n_0$ için, $A_{n_{0}}=1$ dir.
• $k\neq j$ ise, $A_{k}\neq A_{j}$ dir.
• $A_{k} \leq A_{j}$ ise, $A_{k}$, $A_{j}$ yi böler.

Kenar uzunluğu $2$ olan $ABCD$ karesinin, $AB$ ve $CD$ kenarları üzerinde sırasıyla $M$ ve $N$ noktaları alınıyor. $CM$ ve $BN$ doğruları $P$ noktasında, $AN$ ve $MD$ doğruları $Q$ noktasında kesişiyor. $\vert PQ\vert \ge 1$ olduğunu gösteriniz.

Gerçel eksen üzerinde $n$ tane tam sayıyı boyuyoruz. $k$ nin hangi pozitif tamsayı değerleri için aşağıdaki şartları sağlayan bir $\mathcal{K}$ kapalı aralıklar kümesinin bulunduğunu belirleyiniz:

• $\mathcal{K}$ ya ait kapalı aralıkların birleşimi tüm boyalı tam sayıları içerir.
• $\mathcal{K}$ ya ait farklı iki kapalı aralığın kesişimi boştur.
• Her $I\in \mathcal{K}$ için $a_{I}$ ile $I$ ya ait tüm tam sayıların sayısını, $b_{I}$ ile de boyalı olanları gösterirsek, $\dfrac{b_I}{a_I} = \dfrac 1k$ olur.

Bir $ABCD$ dörtgeninin $[AD]$, $[DC]$ ve $[CB]$ kenarlarına teğet olan çemberin değme noktaları sırasıyla $K$, $L$, $M$ ile gösteriliyor. $L$ noktasından geçen ve $AD$ doğrusuna paralel olan doğrunun; $[KM]$ nı kestiği nokta $N$ ve $[LN]$ ile $[KC]$ nın kesiştiği nokta $P$ ise, $$|PL| =|PN|$$ olduğunu ispatlayınız.

Her $n$ pozitif tam sayısı için $$ \prod\limits_{k=0}^{n-1}{(2^{n}-2^{k})}$$ sayısının $n!$ ile bölündüğünü gösteriniz.

$\mathbb{R}$ ile gerçel sayılar kümesini gösterelim. Tüm $x,y$ pozitif gerçel sayıları için $$f(x+y)>f(x)\left(1+yf(x)\right)$$ eşitsizliğini sağlayan bir $ f:\mathbb{R^{+}}\to \mathbb{R^{+}}$ fonksiyonunun bulunmadığını gösteriniz.