Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2021

Pozitif bir $k$ tam sayısı için $|x^2+4x-11|=k$ denkleminin, tam olarak üç ayrı $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ çözümü varsa $k$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 9$

Size, farklı fiyatlardaki beş araba gösteriliyor ve arabaların fiyatlarını veren beş fiyat etiketi veriliyor. Hangi etiketin hangi arabanın olduğunu bilmiyorsunuz. Arabaların fiyatları hakkında hiçbir fikriniz de yok. Arabalarla, fiyat etiketlerini eşleştirmeniz isteniyor. Tam olarak iki fiyat etiketini doğru eşleştirme olasılığınız, $(m,n)=1$ olmak üzere, $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 13$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{72}$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç $(x,y)$ çözüm ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 28  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

$a,b,c,k$ pozitif tam sayılar ve  $$a \cdot b \cdot c= \dfrac{10 \cdot 10!}{k}$$ olsun. $(a+b+c)^3 \cdot k$ ifadesinin en küçük değer almasını sağlayan $a,b,c,k$ sayıları için $S=a+b+c+k$ toplamı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 348  \qquad\textbf{b)}\ 336  \qquad\textbf{c)}\ 381  \qquad\textbf{d)}\ 396  \qquad\textbf{e)}\ 318$

$a_1=4$ ve her $n \geq 1$ için, $$a_{n+1}=4-\dfrac{32}{a_n+8}$$ şeklinde tanımlanan $(a_n)$ dizisi için, $\dfrac{2}{a_1}+\dfrac{2}{a_2}+\dfrac{2}{a_3}+ \dots +\dfrac{2}{a_{100}}$ toplamının $5$'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

Yukarıdaki şekilde $ABCDE$ bir düzgün beşgen, $AKLMNO$ bir düzgün altıgen ve $L,C,D,N$ noktaları doğrudaştır. $ABCDE$ düzgün beşgeninin bir kenarı $3$ ve düzgün altıgenin bir kenarı $a$ ise $a^2$ sayısının tam değeri kaçtır? (Bir $x$ sayısının tam değeri, $x$ sayısından büyük olmayan en büyük tam sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 13$

Aşağıdaki şekilde $\triangle ABC$ ve $\triangle FEC$ eşkenar üçgenlerdir. $E$ noktası $[AB]$ doğru parçası üzerinde, $|AE|=5$ ve $|EC|=7$ ise $|BD|$ uzunluğunun 10 katı kaçtır?

$\{a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \} = \{1,2,3,...,9,10 \}$ olmak üzere,
$$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5,$$ $$a_6>a_7>a_8>a_9>a_{10},$$ $$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5<a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}$$
koşullarını sağlayan kaç tane farklı $(a_1,a_2,a_3,...,a_{10})$ onlusu vardır?

Düzlemde yarıçapı $10$ olan $O$ merkezli bir çember ve bu çemberin üzerinde sabit bir $A$ noktası verilsin. Bir $ABCD$ karesinin $BC$ kenarından geçen doğrunun $O$ noktasından geçtiği bilindiğine göre, bu karenin bir köşesinin $O$ noktasına olan uzaklığı tam sayı olarak en çok kaç olabilir?

Bir kenarı $8$ olan kare şeklindeki ideal bir kağıt, aşağıdaki birinci şekilde bir köşesi, bir kenarının orta noktasına gelecek şekilde katlanmıştır. İkinci şekilde ise birinci şekildeki katlanmış kağıt, kat yerinin uçları birbiriyle çakışacak şekilde ikinci kez katlanmıştır. İkinci katlama sonucunda, üç kağıdın üst üste geldiği bölgenin alanı, $(m,n)=1$ olmak üzere, $\dfrac{m}{n}$ ise $m+n$ kaçtır?

$1 \times 1 \times 2, 1 \times 1 \times 3, 1 \times 1 \times 4, ... , 1 \times 1 \times 11$ ölçülerinde siyah ya da beyaz renkteki tuğlalar istenildiği kadar kullanılarak $1 \times 1 \times 11$ ölçülerinde kaç farklı duvar yapılabilir? (Aşağıda iki farklı örnek verilmiştir.)

$x,y,z$ pozitif tam sayıları için,

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}=14$ ve $x+y-z=22$ olmak üzere, $\dfrac{y+x\sqrt2}{z+y\sqrt2}$ rasyonel sayı ise $x$ değeri kaçtır?

Başkatsayısı pozitif olan $P(x)$ ve $Q(x)$ polinomları için,
$$P(P(x))=P(x)^5+x^{15}+Q(x)$$
eşitliği sağlandığına göre, $Q(x)$ polinomunun derecesi en az kaç olabilir?

$x,y,z >0$ ve $x^3+y^3+z^3=3$ olmak üzere,
$$S=18xyz+17x^3+6y^3$$
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$f : \mathbb Z^+ \to \mathbb R^+$ fonksiyonu, her $x,y \in \mathbb Z^+$ için,
$$3f(x+y)[f(x)+f(y)+2xy \cdot f(xy)]=2f(xy)$$
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, $(m,n)=1$ olmak üzere, $f(1)=\dfrac{m}{n}$ ise $m^2+n^2$ kaçtır?

(Not : Burada, $\mathbb Z^+$ ve $\mathbb R^+$ pozitif tam sayılar ve pozitif reel sayılar kümelerini göstermektedir.)