Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2024

Bir konveks (dışbükey) çokgenin dar açılı iç açılarının sayısı $0,1,2,3,4$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $b^2=ac$ ve $abc=216$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre $a$, $b$ ve $c$ sayılarının en küçük ortak katlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 66  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 78$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^3+y^3+3xy=1$ eşitliği sağlanıyorsa $x+y$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının $4$ birim karesine birer bilye yerleştirilecektir. Bu yerleştirme, her bir satır ve her bir sütun en fazla bir bilye içerecek biçimde kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 480  \qquad\textbf{b)}\ 500  \qquad\textbf{c)}\ 575  \qquad\textbf{d)}\ 600  \qquad\textbf{e)}\ 625$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için, $s(\widehat{DBC})=s(\widehat{BAC})=45^{\circ}$, $|BD|=5$, $|BC|=5\sqrt2$ ise $|AD|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$1^{32}+2^{32}+3^{32}+ \cdots + 2023^{32}+2024^{32}$ toplamının $32$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 26  \qquad\textbf{e)}\ 28$

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $2^{m^2}+2^{n^2} < 2^{2024}$ şartını sağlayan kaç $(m,n)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 5929  \qquad\textbf{b)}\ 6241  \qquad\textbf{c)}\ 7569  \qquad\textbf{d)}\ 7921  \qquad\textbf{e)}\ 8281$

Her biri $7$ farklı renkten birine boyalı olan $n$ top $32$ kutuya dağıtılmıştır. Bu kutulardan herhangi $10$ tanesinin birleşiminde bu $7$ rengin her biri için o renge boyalı en az bir top varsa $n$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 157  \qquad\textbf{b)}\ 161  \qquad\textbf{c)}\ 176  \qquad\textbf{d)}\ 184  \qquad\textbf{e)}\ 192$

Ağırlık merkezi $G$ olan bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|AE|=|EC|$ ve $5|BD|=|DC|$ veriliyor. $AD \cap BE = \{F\}$ ise $\dfrac{|BF|}{|FG|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1/2  \qquad\textbf{b)}\ 2/3  \qquad\textbf{c)}\ 3/4  \qquad\textbf{d)}\ 4/5  \qquad\textbf{e)}\ 5/6$

$30$'un bir tam katı olup tam olarak $30$ pozitif böleni olan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının farkı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10530  \qquad\textbf{b)}\ 10620  \qquad\textbf{c)}\ 10710  \qquad\textbf{d)}\ 10800  \qquad\textbf{e)}\ 10890$

$a,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere, $a+b=30$ ve $ab=225+c^2$ eşitliklerini sağlayan kaç $(a,b,c)$ üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Başlangıçta $12$ kırmızı ve $12$ beyaz top bir doğru boyunca en soldaki top kırmızı ve yan yana bulunan herhangi iki top farklı renkte olacak şekilde sıralanmıştır. Her işlemde yan yana olan farklı renkli iki topun yerleri birbirleriyle değiştirilmektedir. Buna göre bu toplar, en az kaç işlem sonucunda soldan ilk $12$ top beyaz olacak şekilde yeniden dizilebilir?

$\textbf{a)}\ 70  \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 74  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ 78$

Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat A$ açısının iç açıortayı ile $\widehat B$ açısının iç açıortayı paralelkenarın içinde bir $E$ noktasında kesişmektedir. $BE$ ve $CD$ doğrularının kesişimi $[CD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktasıdır. $|AE|=15$, $|AB|=25$, $|BF|=24$ olduğuna göre $|BC|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 18$

Bir tahtaya $1,2,...,100$ sayıları yazılmıştır. Tahtadaki bir $k$ sayısı dışındaki $99$ sayının aritmetik ortalaması bir tam sayı ise $k$ sayısına hoş sayı diyelim. Tahtadaki tüm hoş sayıların toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 101  \qquad\textbf{b)}\ 108  \qquad\textbf{c)}\ 113  \qquad\textbf{d)}\ 118  \qquad\textbf{e)}\ 127$

$x$ ve $y$ gerçel sayıları $$3x^2y+3y-1=3y^2x+3x-1=x^2y^2+x^2+y^2$$ denklem sistemini sağlamaktadır. $x+y$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 12$

Pozitif tam sayılardan oluşan $a_1,a_2,...,a_8$ dizisinde $a_8 \leq 9$ ve her $1 \leq i \leq 7$ için $a_i$ sayısı $a_{i+1}$ sayısını bölüyorsa bu diziye uyumlu dizi diyelim. Uyumlu dizi sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 269  \qquad\textbf{b)}\ 276  \qquad\textbf{c)}\ 289  \qquad\textbf{d)}\ 298  \qquad\textbf{e)}\ 302$

Bir dik koordinat düzleminde orijin noktasındaki bir robot, $(0,13),(2,13),(2,-4),(0,-4)$ noktalarının oluşturduğu dikdörtgen bölgenin içine girememektedir. Robot en fazla $8$ birim yol katedebildiğine göre, robotun gidebileceği tüm noktalar kümesinin alanı kaç birim karedir?

$\textbf{a)}\ 29\pi  \qquad\textbf{b)}\ 31\pi  \qquad\textbf{c)}\ 33\pi  \qquad\textbf{d)}\ 35\pi  \qquad\textbf{e)}\ 37\pi$

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m^3-3m^2+3m=8n+8$ eşitliğini sağlayan bir $(m,n)$ ikilisi için $m+n$'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 42  \qquad\textbf{b)}\ 44  \qquad\textbf{c)}\ 46  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 50$

$f(x)=\dfrac{x^3}{3x^2-3x+1}$ olmak üzere, $$f \left( \dfrac{1}{33} \right) + f \left( \dfrac{2}{33} \right) + f \left( \dfrac{3}{33} \right) + \cdots + f \left( \dfrac{31}{33} \right) + f \left( \dfrac{32}{33} \right)$$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{65}{33}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{31}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{496}{33}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{33}{2}$

$n$ futbol takımının katıldığı bir turnuvada her takım ikilisi aralarında tam olarak bir maç yapmıştır ve her bir maç bir takımın galibiyeti veya beraberlik ile sonuçlanmıştır. Tüm maçlar yapıldıktan sonra her takımın kazandığı maç sayısının, berabere kaldığı maç sayısının $1,5$ katı olduğu görülmüştür. Buna göre, $n$ sayısı $9, 10, 11, 12, 13$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$|AB|<|AC|$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ ve $B$ noktasından $[AC]$ kenarına inilen dikme ayağı $E$ olmak üzere, $D$ noktasından $AD$ doğrusuna çizilen dikme ile $BE$ doğrusunun kesişim noktası $F$ olsun. $s(\widehat{EFD})=30^{\circ}$ ve $s(\widehat{ACB})=40^{\circ}$ ise $s(\widehat{FAC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 70^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 80^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 85^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}$

Bir $A>32$ pozitif tam sayısının $32$ ile bölümünde bölüm $B$, kalan ise $19$'dur. $A$'nın $B$ ile bölümünden kalan $C$ ise $C$'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 19$

$x,y,z,t$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2+y^2)(z^2+t^2)=2024$ ve $xt=yz+40$ ise $xz+yt$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 30  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir çember etrafına birbirinden farklı $20$ tam sayı yazılmıştır. Yan yana olan herhangi iki sayının farkının mutlak değeri ya $8$ ya da $11$'dir. Bu $20$ sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün farkı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 104  \qquad\textbf{b)}\ 105  \qquad\textbf{c)}\ 107  \qquad\textbf{d)}\ 108  \qquad\textbf{e)}\ 110$

Bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC], [CA], [AB]$ kenarları üzerinde alınan $D,E,F$ noktaları için $s(\widehat{ABC})=s(\widehat{ADE})$ ve $s(\widehat{ADF})=s(\widehat{ACB})$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $|AD|=3, |BD|=4, |CD|=6$ ise $|EF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{11}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{11}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{20}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{25}{7}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $n$ pozitif tam sayısı ile $180$ sayısının ortak pozitif bölenlerinin sayısı $6$'dır. Buna göre $n$ ile $180$'in en büyük ortak böleninin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{4y+18-y^2}{x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz+2}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 12$

$9 \times 9$ bir satranç tahtasının $n$ birim karesi nasıl işaretlenirse işaretlensin, tahtanın $3$ tane işaretlenmiş birim karesinden oluşan $1 \times 3$ ya da $3 \times 1$ boyutlarında bir dikdörtgen bulunuyorsa, $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 49  \qquad\textbf{b)}\ 51  \qquad\textbf{c)}\ 53  \qquad\textbf{d)}\ 55  \qquad\textbf{e)}\ 57$

$|AB|=6$, $|AC|=8$, $s(\widehat{BAC})=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin ve $B$ köşesine göre dış teğet çemberinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ ise $|IJ|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt5  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$2^{p+3}+3^{p+2}+5^{p+1}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Bir kavanozda bulunan portakal suyuna iki kez havuç suyu ekleniyor. Her iki eklemede kavanozdaki sıvının hacmi eşit yüzdeyle artmıştır. Son durumda kavanozdaki sıvının hacmi $600$ birim ve ikinci eklemede kavanoza eklenen havuç suyu miktarı $120$ birim ise başlangıçta kavanozda bulunan portakal suyunun hacmi kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 352  \qquad\textbf{b)}\ 360  \qquad\textbf{c)}\ 368  \qquad\textbf{d)}\ 376  \qquad\textbf{e)}\ 384$

Bir masa üzerinde $120$ bilyeden oluşan bir öbek bulunmaktadır. Önce Aslı bu bilyeleri farklı sayıda bilye içeren iki öbeğe ayırıyor. Daha sonra Zehra bu iki öbeğin istediği birini iki öbeğe, oluşan üç öbek farklı sayılarda bilye içerecek şekilde ayırıyor. Aslı, oluşan üç öbekten en az ve en fazla bilye içeren öbeklerdeki bilye sayıları toplamının en az $N$ olmasını garantileyebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 77  \qquad\textbf{b)}\ 78  \qquad\textbf{c)}\ 80  \qquad\textbf{d)}\ 82  \qquad\textbf{e)}\ 83$