Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı

Başlangıçta tahtaya birbirinden farklı $u$ ve $v$ tam sayıları yazılmıştır. Her adımda, aşağıdaki iki işlemden biri yapılıyor :

(i) $a$ ve $b$ tahtada yazılı birbirinden farklı iki tam sayı olmak üzere, $a+b$ sayısı tahtada yazılı değilse $a+b$ sayısını tahtaya yazabiliriz.

(ii) $a$, $b$ ve $c$ tahtada yazılı birbirinden farklı üç tam sayı olmak üzere, $ax^2+bx+c=0$ denklemini sağlayan bir $x$ tam sayısı tahtada yazılı değilse $x$ tam sayısını tahtaya yazabiliriz.

Herhangi bir tam sayının sonlu sayıda işlem sonucunda tahtaya yazılabilmesini mümkün kılan tüm $(u,v)$ başlangıç ikililerini bulunuz.

(Slovakya)

$AC>AB$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ ve iç teğet çember merkezi $I$ olsun. Bu üçgenin iç teğet çemberi $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$, $F$ noktalarında teğettir. $X$ ve $Y$ noktaları, iç teğet çemberin sırasıyla $\stackrel{\huge{\frown}}{DF}$ ve $\stackrel{\huge{\frown}}{DE}$ küçük yaylarının üzerinde $\angle{BXD} = \angle{DYC}$ olacak şekilde alınıyor. $XY$ doğrusu ile $BC$ doğrusunun kesişim noktası $K$ olsun. $\Omega$ üzerinde bir $T$ noktası, $KT$ ile $\Omega$ teğet olacak ve $T$ noktası $BC$ doğrusuna göre $A$ ile aynı tarafta olacak şekilde alınıyor. $TD$ ve $AI$ doğrularının $\Omega$ üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

(İngiltere)

Çözüm:

$K$ nin içteğet çembere göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KD^2 \tag{1}$$
$K$ nin çevrel çembere göre kuvvetinden $$KB\cdot KC = KT^2 \tag{2}$$
Teğet kiriş açıdan $\angle DYX = \angle XDB$.
$\angle XBK = \angle XDB+ \angle BXD = \angle DYX + \angle DYC =\angle CYX$ olduğu için $CYXB$ kirişler dörtgenidir. $K$ nin bu kirişler dörtgeninin çevrel çemberine göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KB\cdot KC \tag{3}$$
$(1),(2)$ ve $(3)$ ü birleştirirsek $KT = KD$ elde ederiz.

$TD$ ile $\Omega$, $M$ de kesişsin.
$\overset{\Huge\frown}{BM} + \overset{\Huge\frown}{TC} =2\angle TDC = 2\angle DTK =\overset{\Huge\frown}{TM} =\overset{\Huge\frown}{CM} +\overset{\Huge\frown}{TC} \Longrightarrow \overset{\Huge\frown}{BM} = \overset{\Huge\frown}{CM}$
Bu durumda $AM$ doğrusu $\angle CAB$ nin açıortayıdır. Yani $A, I, M$ doğrusaldır. O halde $AI$ ile $TD$ doğruları, $\overset{\Huge\frown}{BC}$ yayının orta noktasında kesişir.

Bir $n$ pozitif tam sayısının her $d$ pozitif böleni için $d(d+1)$ sayısı $n(n+1)$ sayısını bölüyorsa $n$ sayısına tuhaf diyelim. Birbirinden farklı herhangi dört $A$, $B$, $C$ ve $D$ tuhaf pozitif tam sayıları için
$$\text{ebob(A,B,C,D)=1}$$
olduğunu gösteriniz.

$ebob(A,B,C,D)$ ile $A$, $B$, $C$ ve $D$ sayılarının her birini bölen en büyük pozitif tam sayı gösterilmektedir.

(Hollanda)

Bir $a_1<a_2< \cdots <a_n$ tam sayı dizisinde, $1 \leq i < j \leq n$ olan bir $(a_i,a_j)$ ikilisi için $1 \leq k < \ell \leq n$ ve
$$\dfrac{a_{\ell}-a_k}{a_j-a_i}=2$$
olacak şekilde bir $(a_k,a_{\ell})$ ikilisi bulunuyorsa, $(a_i,a_j)$ ikilisine $\textit{ilginç}$ ikili diyelim. $n \geq 3$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n$ elemanlı bir dizideki ilginç ikili sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

(Ukrayna)

Pozitif tam sayıların kümesini $\mathbb N$ ile gösterelim. Her $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi için aşağıdaki şartları sağlayan tüm $f : \mathbb N \to \mathbb N$ fonksiyonlarını bulunuz:

(i) $x$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı ile $f(x)$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı birbirlerine eşittir.

(ii) $x$ sayısı $y$ sayısını bölmüyorsa ve $y$ sayısı $x$ sayısını bölmüyorsa $$ebob(f(x),f(y))>f(ebob(x,y))$$
sağlanır.

$ebob(m,n)$ ile $m$ ve $n$ sayılarının ikisini de bölen en büyük pozitif tam sayı gösterilmektedir.

(Hırvatistan)

Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2024 Çözümleri