Balkan Matematik Olimpiyatı - 2024

$AC>AB$ olan bir $ABC$ dar açılı üçgeninde $A$ köşesinin iç açıortayının $BC$ kenarını kestiği nokta $D$ olsun. $AB$ ve $AC$ doğrularının $BC$ doğrusuna göre simetrikleri $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $D$ noktasından geçen bir doğru $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $G$ ve $H$ noktalarında kesiyor öyle ki $G$ noktası $A$ ve $C$ noktaları arasında olup $A$ ve $C$ den farklıdır ve $H$ noktası $B$ ve $F$ noktaları arasında olup $B$ ve $F$ den farklıdır. $\triangle EDG$ ve $\triangle FDH$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.

$n \geq k \geq 3$ tam sayılar olsun. Her $1 \leq a_1 < a_2 < \dots < a_k \leq n$ tam sayı dizisi için aşağıdaki koşulları sağlayan $b_1,b_2, \dots , b_k$ negatif olmayan tam sayılarının seçilebileceğini gösteriniz :

     (i) her $1 \leq i \leq k$ için $0 \leq b_i \leq n$,

    (ii) $b_i$ sayılarından pozitif olanlar birbirinden farklıdır,

   (iii) tüm $1 \leq i \leq k$ indisleri için oluşturulan $a_i+b_i$ toplamları, $k$ terimli sabit olmayan bir aritmetik dizinin bir permütasyonudur.

$a$ ve $b$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $3^a+2$ sayısı $3^b+2$ sayısı ile bölünüyor. $a>b^2$ olduğunu gösteriniz.

$\mathbb R^+ = (0,\infty)$ ile tüm pozitif gerçel sayılar kümesi gösterilsin. Tüm öyle $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ fonksiyonlarını ve $P(0)=0$ olacak şekilde negatif olmayan gerçel katsayılı $P(x)$ polinomlarını bulunuz ki tüm $x>y>0$ gerçel sayıları için
$$f(f(x)+P(y)) = f(x-y)+2y$$
eşitliği sağlansın.