$a,b,c$ pozitif reel sayıları $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}$$ eşitliğini sağlasınlar. $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ olduğunu kanıtlayın.

$ABC$ üçgeninde $AB < AC$ olacak şekilde $A$ köşesi karşısındaki dış teğet çemberi sırasıyla $AB, AC$ ve $BC$ doğrularına $D, E$ ve $F$ noktalarında teğet olsun ve $J$ noktası bu çemberin merkezi olsun. $P$, $BC$ kenarı üzerinde bir nokta olsun. $BDP$ ve $CEP$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $Q$ noktasında kesişsin. $R$, $A$ noktasından $FJ$ doğrusuna çizilen dikmenin ayağı olsun. $P, Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayın.

(Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesi karşısındaki dış teğet çemberi, $BC$ doğru parçasına, $B$ ötesinde $AB$ ışınına ve $C$ ötesinde $AC$ ışınına teğet olan çemberdir.)

$$2020^x + 2^y = 2024^z$$  denklemini sağlayan $(x, y, z)$ pozitif tamsayı üçlülerini bulunuz.

Üç arkadaş Archie, Billie ve Charlie bir oyun oynuyor. Oyunun başında, her birinin $2024$ çakıl taşı bulunan bir yığını var. Archie ilk hamleyi yapar, Billie ikinci hamleyi yapar, Charlie üçüncü hamleyi yapar ve aynı sırayla hamle yapmaya devam ederler. Her hamlede, hamleyi yapan oyuncu, önceki hamlelerde herhangi bir oyuncu tarafından seçilmiş olan herhangi bir sayıdan büyük pozitif bir $n$ tamsayısı  seçmeli, yığından  $2n$ çakıl taşı almalı ve bunları diğer iki oyuncuya eşit olarak dağıtmalıdır. Bir oyuncu hamle yapamazsa, oyun biter ve o oyuncu oyunu kaybeder.
Her iki diğer oyuncunun nasıl oynadığına bakılmaksızın, oyunu kaybetmeyecek bir stratejiye sahip olan tüm oyuncuları belirleyiniz.