İç merkezi $I$, çevrel merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $AI$'nın $ABC$'nin çevrel çemberi ile ikinci kesişimi $P$ olsun. $I$'dan geçip $AI$'ya dik olan doğrunun $BC$ ile kesişimi $X$ olsun. $X$'ten $IO$'ya inen dikme ayağı $Y$ olmak üzere, $A,P,X$ ve $Y$'nin çembersel olduğunu gösteriniz.

Tüm $x,y\in\mathbb{R}$ gerçel sayıları için $$(f(x+y))^3=(x+2y)f(x^2)+f(f(y))(x^2+3xy+y^2)$$ denklemini sağlayan bütün $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

$S$, $12$ elemandan oluşan bir küme olsun. $a, b \in S$ ve $\frac{b}{a}$ bir asal sayı olacak şekilde en fazla kaç $(a,b)$ ikilisi olabilir?

$a,b$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $$\frac{10^{a!}-3^b+1}{2^a}$$ ifadesinin tamkare olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ çiftlerini bulunuz.

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgenin diklik merkezi $H$ ve ağırlık merkezi $G$'dir. Bu üçgenin sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarları üzerinde, $B,C,A_{b},A_{c}$ noktaları çembersel ve $A_{b},A_{c},H$ noktaları doğrusal olacak şekilde $A_b$ ve $A_c$ noktaları alınıyor. $A_bA_cA$ üçgeninin çevrel merkezi $O_a$ olsun. $O_b$ ve $O_c$ de benzer şekilde tanımlanıyor. $O_aO_bO_c$ üçgeninin ağırlık merkezinin $HG$ doğrusu üzerinde olduğunu gösteriniz.

Bir $n$ pozitif tamsayısı ve $a_1,a_2\cdots,a_n$ reel sayıları için $b_1,b_2\cdots,b_{n+1}$ sayıları, $1\leq k\leq n$ tamsayısı için $b_k=a_k + \text{max}(a_{k+1},a_{k+2})$ ve $b_{n+1}=b_1$ olacak şekilde tanımlanıyor. $a_{n+1}=a_1$ ve $a_{n+2}=a_2$ olmak üzere tüm $n,a_1,a_2,\cdots,a_n$ sayıları için $$\lambda\cdot\biggl[\sum_{i=1}^{n}{(a_i-a_{i+1})^{2024}}\biggr]\geq \sum_{i=1}^n{(b_i-b_{i+1})^{2024}}$$ olmasını sağlayan, en küçük $\lambda$ değerini bulunuz.

$r\geq2$ bir pozitif tamsayı olmak üzere, tüm pozitif tamsayılar $r$ farklı renkten birine boyanıyor. $(a,b)$ bir renk çifti olmak üzere, herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı için bu tamsayının $a$ rengine boyanmış pozitif tam bölenlerinin sayısı ile $b$ rengine boyanmış pozitif tam bölenlerinin sayısı arasındaki farkın en fazla $1$ olmasını sağlayan tüm mümkün $r$ değerlerini bulunuz.

Bir $n$ tamsayısı için $\sigma(n)$, bu tamsayının pozitif tam bölenlerinin toplamını gösterir. Pozitif tamsayılardan oluşan bir $(a_i)_{(i=0)}^{\infty}$ dizisi, $a_0=1$ ve $a_n$ sayısı $$\sigma(a_0a_1\cdots a_{n-1})\vert\sigma(a_0a_1\cdots a_{n})$$ olmasını sağlayan $1$'den büyük en küçük pozitif tamsayı olacak şekilde tanımlanıyor. Dizinin $2024^{2024}$ sayısını tam bölen elemanlarının sayısını bulunuz.

iç merkezi $I$ ve çevrel merkezi $O$ olan çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $IO$ doğrusu $BC,AC,AB$ doğrularını sırasıyla $D,E,F$ noktalarında kesiyor. $BE$ ve $CF$ noktalarının kesişimi $A_1$ olsun. $B_1$ ve $C_1$ noktalarıda benzer şekilde tanımlanıyor. $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin $BC,AC,AB$ kenarlarına değme noktaları sırasıyla $X,Y,Z$ olsun. $XA_1,YB_1$ ve $ZB_1$ doğrularının $IO$ doğrusuyla kesişimleri sırasıyla $A_2,B_2$ ve $C_2$ olsun. $AA_2,BB_2$ ve $CC_2$ çaplı çemberlerin ortak bir kesişim noktası olduğunu gösteriniz.