Tübitak Kamp Sınavları - 2008 - Ortaokul Kış Çözümleri

$2007$ kişinin bulunduğu bir grupta herhangi $1003$ kişi için bu kişilerden farklı ve bu $1003$ kişiyi tanıyan ve en az bir kişi olduğu biliniyor. Herkesi tanıyan en az bir kişinin varlığını ispatlayın.

$p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $$
p+2 q=p^{q-1}
$$ denkleminin tüm çözümlerini bulun.

Çözüm:

$q=2$ ise çözüm gelmeyeceği barizdir. $q>2$ için $$2q=p^{q-1}-p=p(p^{q-2}-1)\implies p=2\quad\text{veya}\quad p=q$$ Eğer $p=q$ ise $$3p=p^{p-1}\implies p=3$$ olur.

Eğer $p=2$ ise $$2+2q=2^{q-1}\implies q=2^{q-2}-1$$ Sağ taraf $q$'ya bağlı bir üstel fonksiyon, sol tarafsa lineer bir fonksiyondur. Belli bir $q$ değerinden sonra üstel fonksiyon çok hızlı artacağından, sağ taraf daha büyük olacaktır. $q\geq 5$ için sağ taraf daha büyüktür. Dolayısıyla $q\leq 3$ olmalıdır. Ancak $q=3$ denklemi sağlamaz. Dolayısıyla tek çözüm $(p,q)=(3,3)$'dür.

$a b c>a^2+b^2+c^2$ eşitsizliğini sağlayan tüm $a, b, c$ reel sayıları için $$
a b c>a+b+c+18
$$ olduğunu gösterin.

Çözüm:

Verilen eşitsizliğe Karesel-Aritmetik ortalama eşitsizliği uygularsak, $$abc>a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$ elde edilir. $a+b+c=A$ dersek, $3abc>A^2$ olur. İspatlamak istediğimiz eşitsizlik ise $abc>A+18$ olduğudur. Aksini varsayalım ve $A+18\geq abc$ olacak şekilde $a,b,c$ gerçel sayıları olsun. Bu durumda $$3A+54\geq 3abc>A^2\implies 0>A^2-3A-54=(A+6)(A-9)\implies -6<A<9$$ elde edilir. Ayrıca, $abc>0$ olduğunu not alırsak, Aritmetik-Geometrik ortalamadan, $$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\implies (a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$$ $$a^3b^3c^3>(a+b+c)^3\geq 27a^2b^2c^2\implies abc>27$$ olur. Ancak kabul gereği $$A+18\geq abc>27\implies A>9$$ çelişkisi elde edilir. Kabulumuz yanlıştır. $abc>a^2+b^2+c^2$ olan her $a,b,c$ için $$abc>a+b+c+18$$ olur.

Bir $\omega$ çemberinin $[A B]$ çapı çiziliyor. Merkezi $A$ noktasında olan diğer bir $\omega_2$ çemberi, $\omega$ çemberini $C$ ve $D$ noktalarında, $[A B]$ çapını ise $E$ noktasında kesiyor. $D$ noktasının bulunmadığı $C E$ yayı üzerinde $C$ ve $E$ den farklı bir $P$ noktası alınıyor. $[B P$ ışını $\omega$ çemberini $N$ noktasında kesiyor. $|C N|=a$, $|D N|=b$ ise $|P N|$ yi $a$ ve $b$ cinsinden bulun.

$$
x^3-a x^2+\left(a^2-1\right) x-a^2-a=0
$$ denkleminin aritmetik dizi oluşturan $3$ tane kökü olmasını sağlayan tüm reel $a$ sayılarını bulun.

Çözüm:

Denklemin kökleri $x_1\leq x_2\leq x_3$ olsun. $x_1+x_3=2x_1$ olacağından Vieta formüllerinden, $$x_1+x_2+x_3=3x_2=a\implies x_2=\frac{a}{3}$$ bulunur. Bu bir kök olduğundan, yerine yazdığımızda denklemi sağlamalıdır. $$\frac{a^3}{27}-a\cdot\frac{a^2}{9}+(a^2-1)\cdot \frac{a}{3}-a^2-a=0$$ $$\implies 7a^3-27a^2-36a=a(7a^2-27a-36)=0$$ elde edilir. Yani $a=0$, $a=\frac{27\pm 3\sqrt{193}}{14}$ elde edilir. Bunlar için köklerin aritmetik dizi olup olmadığını test etmemize gerek yoktur çünkü bu değerler için $x=\frac{a}{3}$ bir kök olacak ve $x_1+x_3=2x_2$ otomatik olarak sağlanacaktır. Dolayısıyla denklemin aritmetik kökü olmasını sağlayan tüm $a$ değerleri $\boxed{a=0,\frac{27+3\sqrt{193}}{14},\frac{27-3\sqrt{193}}{14}}$ olacaktır.