Tübitak Kamp Sınavları - 2008 - Ortaokul Kış

$2007$ kişinin bulunduğu bir grupta herhangi $1003$ kişi için bu kişilerden farklı ve bu $1003$ kişiyi tanıyan ve en az bir kişi olduğu biliniyor. Herkesi tanıyan en az bir kişinin varlığını ispatlayın.

$p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $$
p+2 q=p^{q-1}
$$ denkleminin tüm çözümlerini bulun.

$a b c>a^2+b^2+c^2$ eşitsizliğini sağlayan tüm $a, b, c$ reel sayıları için $$
a b c>a+b+c+18
$$ olduğunu gösterin.

Bir $\omega$ çemberinin $[A B]$ çapı çiziliyor. Merkezi $A$ noktasında olan diğer bir $\omega_2$ çemberi, $\omega$ çemberini $C$ ve $D$ noktalarında, $[A B]$ çapını ise $E$ noktasında kesiyor. $D$ noktasının bulunmadığı $C E$ yayı üzerinde $C$ ve $E$ den farklı bir $P$ noktası alınıyor. $[B P$ ışını $\omega$ çemberini $N$ noktasında kesiyor. $|C N|=a$, $|D N|=b$ ise $|P N|$ yi $a$ ve $b$ cinsinden bulun.

$$
x^3-a x^2+\left(a^2-1\right) x-a^2-a=0
$$ denkleminin aritmetik dizi oluşturan $3$ tane kökü olmasını sağlayan tüm reel $a$ sayılarını bulun.