Tübitak Kamp Sınavları - 2008 - Lise Kış Çözümleri

1

$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots$ aritmetik dizisinin tüm terimlerini bölen en büyük sayı $1$ dir. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+$ $\ldots+a_{n}$ toplamının her $n \geq 1$ tam sayısı için tam kare olmasını sağlayan tüm dizileri bulun.

Çözüm:

Dizinin ortak farkı $d$ olsun. Öncelikle $a_1$ tamkare olduğundan $a_1\geq 0$'dır. Ayrıca $d\geq 0$ olmalıdır aksi takdirde dizinin terimleri bir yerden sonra negatif olmaya başlar ve $S_n<0$ olur. Dolayısıyla dizideki her terim $0$ veya pozitiftir. Her terimi $a_n=a_1+d(n-1)$ olarak yazabiliriz. Dizinin tüm terimlerini bölen en büyük sayının $1$ olması için $(a_1,d)=1$ olmalıdır. $$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(a_1+d(k-1))=a_1n+\frac{d(n-1)n}{2}$$ her zaman tamkare olmalıdır. $$n(2a_1+d(n-1))=2t_n^2$$ olacak şekilde $n$'ye bağlı bir $t_n$ negatif olmayan tamsayısı vardır. $n$'yi yeterince büyük bir asal sayı seçersek, $$n\mid 2t_n^2\implies n\mid t_n\implies n^2\mid 2t_n^2$$ $$\implies n\mid 2a_1+d(n-1)\implies n\mid 2a_1-d$$ olmalıdır. $n$'yi istediğimiz kadar büyük seçebileceğimizden dolayı $2a_1=d$ olmalıdır. Ayrıca $(a_1,d)=1$ olduğundan $a_1=1$ ve $d=2$'dir. Yani dizinin terimleri $$1,3,5,7,\dots$$ şeklinde tek pozitif tamsayılardan oluşmalıdır. Başka bir deyişle $\boxed{a_n=2n-1}$ olmalıdır. Bu durumda $S_n=n^2$ çıktığından istenilen sağlanır.

2

$A B C$ dar açılı üçgeninde $|B C|>|C A|$ dır. $O, H$ ve $F$ noktaları sırasıyla $A B C$ nin çevrel çemberinin merkezi, $A B C$ nin diklik merkezi ve $C$ den $A B$ üzerine inen dikmenin ayağıdır. $A C$ üzerinde $m(\widehat{O F P})=90^{\circ}$ olan nokta $P$ olmak üzere $m(\widehat{F H P})=m(\widehat{B A C})$ olduğunu gösterin.

3

Tam sayılar üzerinde tanımlı ve tam sayı değerler alan $h$ ve $f$ fonksiyonları şu özellikler sağlıyor: $$
\begin{gathered}
h(0)=0, h(2 n)=h(n), h(2 n+1)=h(n)+1 \\
f(0)=0, f(2 n)=f(n)+h(n), f(2 n+1)=f(2 n)+1
\end{gathered}
$$ $f(n)=12$ eşitliğini sağlayan $1000$ den büyük tüm $n$ tam sayılarını bulun.

Çözüm:

Başlamadan önce: Her ne kadar $h,f$ fonksiyonları tamsayılardan tamsayılara bir fonksiyon olarak verilse de $n=-1$ yazarsak, $h(-1)=h(-1)+1$ şeklinde bir çelişki elde edilir. Dolayısıyla tahminim sorunun orijinalinde, fonksiyonlar doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmıştır. Ben de o şekilde çözümü yapacağım.

Soruya dönelim.

Verilen eşitlikler ile tüm doğal sayılar için $f$ ve $h$ altında $n$'nin görüntüsü tek şekilde bulunabileceğinden, eşitlikleri sağlayan her fonksiyon, bu $f,h$ fonksiyonlarıyla aynıdır.

Eğer $n=(a_1a_2\dots,a_k)_2$ şeklinde yazarsak, iddiamız $h(n)=a_1+a_2+\cdots+a_k$ olduğudur. Gerçekten de bu haliyle $h(0)=0$, $$h(2n)=h((a_1a_2\dots,a_k0)_2)=a_1+a_2+\cdots+a_k=h(n)$$ $$h(2n+1)=h((a_1a_2\dots,a_k1)_2)=a_1+a_2+\cdots+a_k+1=h(n)+1$$ sağladığından $h$ fonksiyonu budur. Teknik olarak $0$'ların toplama etkisi olmadığından dolayı, $h(n)$'yi $n$'nin iki tabanındaki halindeki $1$'lerin sayısı olarak da tanımlayabiliriz.

$f$'i tahmin etmek daha zor ancak $f(2n)=f(n)+h(n)$ olmasından yola çıkarak $n=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_0)_2$ yazarsak, $$f(n)=h(n)+\sum_{a_i\neq 0}i$$ olacağını gösterelim. $f(0)=0$ olduğunu görmek kolaydır. $2n=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_00)_2$ ve $2n+1=(a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_01)_2$ olacağından $$f(2n)=h(2n)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=h(2n)+h(n)+\sum_{a_i\neq 0}i=f(n)+h(2n)=f(n)+h(n)$$ $$f(2n+1)=h(2n+1)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=1+h(2n)+\sum_{a_i\neq 0}(i+1)=f(2n)+1$$ olur. Dolayısıyla, $f$ fonksiyonu budur.

Eğer $f(n)=12$ ise $12-k$'yı $k$ farklı doğal sayının toplamı olarak yazmalıyız (burada $k=h(n)$ oluyor). $n>1000$ verildiğinden $n>512=2^{9}$ olur. Yani $\sum_{a_i\neq 0}i$ içerisinde en az $9$ vardır. En fazla da $11$ olabilir çünkü aksi taktirde $f(n)>12$ olur. Dolayısıyla $k$ en fazla $2$ olabilir, yoksa $\sum_{a_i\neq 0}i$ içerisindeki tüm terimler $9$'dan küçük olmalıdır.

$k=1$ ise $12-1$'i $1$ tane doğal sayı olarak yazmak demek $n=2^{11}$ olması demektir.

$k=2$ ise $12-2$'yi iki tane doğal sayının toplamı olarak yazmalıyız. En az bir tane $9$'dan büyük sayı içermesi gerektiğinden sadece $10+0$ ve $9+1$ işe yarar. Yani $n=2^{10}+1$ ve $2^{9}+2$ olabilir ancak $2^9+2<1000$ olduğundan aradığımız $n$ olamaz.

$n$ sadece $2^{11}=2048$ ve $2^{10}+1=1025$ olabilir.

4

$P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_{n}$ polinomu veriliyor. $$
m=\min \left\{a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots, a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right\}
$$ olmak üzere her $x \geq 1$ için $P(x) \geq m x^{n}$ olduğunu gösterin.

5

$N$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, bir çember üzerindeki her nokta $N$ renkten birine boyanıyor. Çember üzerinde köşeleri aynı renk olan bir yamuğun bulunduğunu gösterin.