$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots$ aritmetik dizisinin tüm terimlerini bölen en büyük sayı $1$ dir. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+$ $\ldots+a_{n}$ toplamının her $n \geq 1$ tam sayısı için tam kare olmasını sağlayan tüm dizileri bulun.

$A B C$ dar açılı üçgeninde $|B C|>|C A|$ dır. $O, H$ ve $F$ noktaları sırasıyla $A B C$ nin çevrel çemberinin merkezi, $A B C$ nin diklik merkezi ve $C$ den $A B$ üzerine inen dikmenin ayağıdır. $A C$ üzerinde $m(\widehat{O F P})=90^{\circ}$ olan nokta $P$ olmak üzere $m(\widehat{F H P})=m(\widehat{B A C})$ olduğunu gösterin.

Tam sayılar üzerinde tanımlı ve tam sayı değerler alan $h$ ve $f$ fonksiyonları şu özellikler sağlıyor: $$
\begin{gathered}
h(0)=0, h(2 n)=h(n), h(2 n+1)=h(n)+1 \\
f(0)=0, f(2 n)=f(n)+h(n), f(2 n+1)=f(2 n)+1
\end{gathered}
$$ $f(n)=12$ eşitliğini sağlayan $1000$ den büyük tüm $n$ tam sayılarını bulun.

$P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_{n}$ polinomu veriliyor. $$
m=\min \left\{a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots, a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right\}
$$ olmak üzere her $x \geq 1$ için $P(x) \geq m x^{n}$ olduğunu gösterin.

$N$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, bir çember üzerindeki her nokta $N$ renkten birine boyanıyor. Çember üzerinde köşeleri aynı renk olan bir yamuğun bulunduğunu gösterin.