Tübitak Kamp Sınavları - 2019 - Ortaokul Yaz

$a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere, $s=a^2+b^2 - 6ab \geq 53$ ise, $s$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$2019$ öğrencinin yer aldığı bir okulda her öğrenci en az bir öğrenci ile arkadaştır. Bu okulda ortak bir arkadaşa sahip her iki öğrencinin arkadaş sayıları farklıdır.

$\text{a)}$ Bu okulda tam olarak $3$ arkadaşı olan bir öğrenci her zaman var mıdır?

$\text{b)}$ Bu okulda tam olarak $4$ arkadaşı olan bir öğrenci her zaman var mıdır?

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $ [AC] $ kenarları üzerinden sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları $\widehat{DEC}=2\cdot \widehat{ABC}$ ve $\widehat{EDB}=2\cdot \widehat{ACB}$ olacak şekilde alınmıştır.

$$ \dfrac{Alan(BDEC)}{Alan(ABC)} \leq \dfrac{|BD|^2+ |DE|^2+|EC|^2}{|BC|^2} $$
olduğunu gösteriniz.

$$ \begin{array}{lcr} a^4 + b^4 + c^4 + d^4 & = & a+ b + c + d \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 & = &  4abcd \end{array} $$
eşitliklerini sağlayan tüm $(a,b,c,d)$ pozitif gerçel sayı dörtlülerini bulunuz.