Tübitak Kamp Sınavları - 2012 - Ortaokul Yaz Çözümleri

1

$p^5-2q^2=(4p-q)^2$ denklemini asal sayılar kümesinde çözünüz.

2

$P(x)$, ikinci dereceden bir polinom olup en az bir katsayısı tam sayı değildir. Her $n$ tam sayısı için $P(n)$ tam sayı ise $R(x)=P(x)- \dfrac12x(x+1)$ polinomunun tam sayı katsayılı bir polinom olduğunu gösteriniz.

3

Ağırlıkları $x_1,x_2,...,x_n$ olan $n$ taşın toplam ağırlığı $M$ olsun. Ağırlığı $\dfrac{7M}{100}$ den büyük olan taşlara $\textit{ağır}$ taş diyelim. Her ağır taş için, ağırlıkları bu taştan küçük olup toplam ağırlıkları bu taştan daha fazla olan iki taşın olduğunu biliyorsak, $n$ en az kaç olabilir?

4

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle{ACB}=90^{\circ}$ olsun. $C$ den inilen yükseklik ayağı $F$ olsun. $\omega$ çemberi $[FB]$ doğru parçasına $P$ de, $CF$ yüksekliğine $Q$ da ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $R$ de teğet oluyor ise $A,Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal ve $|AP|=|AC|$ olduğunu gösteriniz.

5

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
$$\dfrac43(x+y+z) \geq x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$$
olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

Çözüm [Lokman GÖKÇE]: İspatlanması istenen eşitsizlik $ x+ 4y + 4z \geq 3\sqrt{xy} + 3\sqrt[3]{xyz}$ eşitsizliğine denktir. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden,

$$ \dfrac{3}{4}x + 3y \geq 3\sqrt{xy}$$
$$ \dfrac{1}{4}x + y + 4z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$

olup taraf tarafa toplarsak, $ x+ 4y + 4z \geq 3\sqrt{xy} + 3\sqrt[3]{xyz}$ elde ederiz. Eşitlik durumu $x=4y=16z$ iken sağlanır.

Çözümü tamamladık ama bu eşitsizlikleri nasıl düşündüğümüzü açıklamak kesinlikle daha öğretici olacaktır. $x=ax + (1-a)x$, $y=by + (4-b)y$ biçiminde yazalım. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$ ax + by \geq 2\sqrt{abxy}$$
$$(1-a)x + (4-b)y + 4 z \geq 3\sqrt[3]{4(1-a)(4-b)xyz} $$
olur. Eğer,
$$ 2\sqrt{ab}=3 $$
$$ \sqrt[3]{4(1-a)(4-b)} = 1 $$
olacak şekilde $0<a<1$ ve $0<b<4$ sayıları bulabilirsek problem çözülecektir. Bu denklem sistemini çözersek $a=\dfrac{3}{4}$, $b=3$ bulunur. Artık eşitsizliklerdeki $x$ ve $y$ nin katsayılarını nasıl parçalayacağımızı biliyoruz.