$p^5-2q^2=(4p-q)^2$ denklemini asal sayılar kümesinde çözünüz.

$P(x)$, ikinci dereceden bir polinom olup en az bir katsayısı tam sayı değildir. Her $n$ tam sayısı için $P(n)$ tam sayı ise $R(x)=P(x)- \dfrac12x(x+1)$ polinomunun tam sayı katsayılı bir polinom olduğunu gösteriniz.

Ağırlıkları $x_1,x_2,...,x_n$ olan $n$ taşın toplam ağırlığı $M$ olsun. Ağırlığı $\dfrac{7M}{100}$ den büyük olan taşlara $\textit{ağır}$ taş diyelim. Her ağır taş için, ağırlıkları bu taştan küçük olup toplam ağırlıkları bu taştan daha fazla olan iki taşın olduğunu biliyorsak, $n$ en az kaç olabilir?

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle{ACB}=90^{\circ}$ olsun. $C$ den inilen yükseklik ayağı $F$ olsun. $\omega$ çemberi $[FB]$ doğru parçasına $P$ de, $CF$ yüksekliğine $Q$ da ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $R$ de teğet oluyor ise $A,Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal ve $|AP|=|AC|$ olduğunu gösteriniz.

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
$$\dfrac43(x+y+z) \geq x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$$
olduğunu gösteriniz.