Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Sigma$ ve $\Sigma$'nın merkezi $O$ noktası olmak üzere; $O$ noktasından geçen ve $BC$ doğrusuna paralel olan doğru $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla $B_1$ ve $C_1$ noktalarında kesiyor. $B_1$ ve $C_1$ noktalarından geçen $\sigma$ çemberi, $\Sigma$ çemberine $K$ noktasında teğettir. $BC$ ve $B_1C_1$ doğruları arasındaki mesafe $2$, $|B_1C_1|=6$ ve $|AK|=6$ ise $\Sigma$ çemberinin yarıçapını ve $ABC$ üçgeninin alanını bulunuz.

Bir kurbağa, bir koordinat düzleminde $(0,0)$ noktasından başlayıp dakikada bir $1$ birim uzaklıktaki rasyonel sayı koordinatlı bir noktaya zıplıyor.

    a) Sonlu süre sonunda kurbağanın $\left( \dfrac{1}{5},\dfrac{1}{17}\right)$ noktasına ulaşabileceğini gösteriniz.

    b) Sonlu süre sonunda kurbağanın $\left( 0,\dfrac{1}{2012}\right)$ noktasına ulaşamayacağını gösteriniz.

Hangi $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilileri için, $\dfrac{a^2+b^2+1}{ab+a+b}$ bir tam sayıdır?

$n$ ve $m$ pozitif tam sayıları olmak üzere, $(n+1)m-1$ elamandan oluşan bir $S$ kümesinin $n$ elemanlı her bir altkümesi bir kartın üzerine yazılıp $A$ ve $B$ kutularından birine atılıyor. Kartların dağılımı nasıl yapılırsa yapılsın, aynı kutuda yer alan ve üzerlerinde yazan altkümelerin herhangi ikisi ayrık olan $m$ kartın bulunduğunu gösteriniz.

Gerçel katsayılı bir $P(x)$ polinomu ve $a\geq 3$ gerçel sayısı verilmiştir. $P(x)$ polinomunun derecesi $n$ olmak üzere, $|a^k-P(k)| \geq  1$ olacak şekilde bir $0 \leq k \leq n+1$ tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.