Verilen bir $p$ asal sayısı için, $x(x+p)$ ifadesini tamkare yapan tüm $x$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden geçen iç açıortay, $[AB]$ kenarıyla $L$ noktasında kesişiyor. $A$ ve $B$ noktalarının $CL$ açıortayına göre simetrileri sırasıyla $A_1$ ve $B_1$; $L$ noktasına göre simetrileri ise sırasıyla $A_2$ ve $B_2$ olsun. $O_1$ ve $O_2$ noktaları sırasıyla $AB_1B_2$ ve $BA_1A_2$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri olmak üzere, $\angle{O_1CA} = \angle{O_2CB}$ olduğunu gösteriniz.

Başlangıçta Ali $222$ taşı iki kutuya dağıtıyor ve Aslı bu dağılımı inceleyerek $222$ yi aşmayan bir $N$ pozitif tam sayısı söylüyor. Ali, bir veya birden fazla kutuda toplam $N$ taş olacak şekilde taşların bir kısmını üçüncü kutuya aktarıyor. Aslı, aktarılan taş sayısının en az $K$ olmasını garantileyebiliyorsa, $K$ en fazla kaç olabilir?

Boş olmayan ve reel sayılardan oluşan sonlu $S$ kümesinde her farklı $x,y \in S$ için $|x-y| \in S$ koşulu sağlanıyorsa, $S$ kümesinin elemanlarının bir aritmetik dizi oluşturduğunu gösteriniz.

Her $n \geq 1$ tam sayısı için, $n$ nin en büyük tek bölenini $a_n$ olarak tanımlayalım. $b_n=a_1+a_2+ \cdots + a_n$ olmak üzere $b_n \geq \dfrac{n^2+2}{3}$ olduğunu gösteriniz ve eşitliği sağlayan tüm $n$ değerlerini bulunuz.