Tübitak Kamp Sınavları - 2005 - Lise Kış Çözümleri

$(0,0)$ merkezli ve $x^2+y^2 \leq 1$ bölgesini kapsayan bir göl, $x^2+y^2=\dfrac14$ çemberi ve $k=1,2,...,n$ olmak üzere $(0,0)$'dan başlayan ve $x$ ekseni ile $360^{\circ} \times k / n$ açı yapan yarı doğrular vasıtası ile $2n$ parçaya bölünmüştür. Gölde $4n+1$ kurbağa bulunmaktadır ve her hamlede $3$ veya daha çok kurbağa bulunan bölgelerden birindeki üç kurbağa, bu bölgeyle sınır paylaşan diğer üç bölgeye sıçramaktadır. Her bölgenin kendisinde veya komşularının üçünde birden kurbağa bulunduğu bir duruma ulaşılacağını gösteriniz.

$9$ satır ve $2004$ sütun içeren bir tablonun birim karelerine her birisi $9$ kez kullanılarak $1,2,3,...,2004$ sayıları yazılmıştır. Her sütundaki herhangi iki sayının farkı $3$ sayısını geçmiyorsa birinci satırdaki sayıların toplamı en az kaç olabilir?

Sıfırdan farklı iki rakamı yer değiştirildiğinde yeni oluşan sayının asal bölenleri ilkiyle aynı olacak şekilde $10$ ile bölünmeyen $n > 10^{1000}$ tamsayısı var mıdır?

$ABC$ üçgeninin en küçük kenarı $BC$'dir. $BA$ ve $CA$ ışınları üzerinde, $BD=CE=BC$ olacak biçimde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $ADE$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının, $ABC$ üçgeninin iç teğet ve çevrel çemberlerinin merkezleri arasındaki uzaklığa eşit olduğunu ispatlayınız.

Her $x,y \in \mathbb Q$ için $f(xy)=f(x)f(y)$ ve $f(x) \leq 1 \implies f(x+1) \leq 1$ koşullarını sağlayan bir $f : \mathbb Q \to \mathbb R^+$ fonksiyonu için, $f\left( \dfrac{2005}{2006} \right) =2$ ise $f\left( \dfrac{2004}{2006} \right)$'nın alabileceği bütün değerleri belirleyiniz.