Tübitak Lise 2. Aşama - 1994
« 1993 1995 »
Çözümlere Git »
Geri

Tübitak Lise 2. Aşama - 1994

1
Her $n \in \mathbb{N}$ için $\sqrt{n}$ sayısına en yakın tam sayıya $a_{n}$ diyelim. Buna göre $$\sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{a_{n}^{3}}}$$ toplamını hesaplayınız.
2
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde, $m(\widehat{BAD})<90^{\circ}$, $ m(\widehat{BCA})=m(\widehat{DCA})$ dır. $[DA]$ üzerinde $\vert BD\vert =2|DE|$ koşulunu sağlayan $E$ noktasından geçen ve $[CD]$ kenarına paralel olan doğru $[AC]$ köşegenini $F$ noktasında kestiğine göre, $$\dfrac{\vert AC\vert \cdot \vert BD\vert }{\vert AB\vert \cdot \vert FC\vert }=2$$ olduğunu gösteriniz.
3
Düzlemde ikişer kesişen ve herhangi üçü aynı noktadan geçmeyen $n$ tane mavi doğru çiziliyor. Bu doğruların kesiştiği noktalara "mavi nokta'' dersek, $\dbinom{n}{2}$ tane mavi noktamız olur. Daha sonra bir mavi doğru ile birleştirilmemiş olan bütün mavi nokta çiftlerinden geçen kırmızı doğrular çiziliyor. İki kırmızı doğrunun kesiştiği noktaya "kırmızı nokta''; bir mavi ve bir kırmızı doğrunun kesiştiği noktaya da "mor nokta'' diyelim. Bu işlemden sonra en fazla kaç tane mavi, kırmızı ve mor nokta olur?
4
$f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ artan bir fonksiyon olsun. Her $u \in \mathbb{R}^{+}$ için $\lbrace f(t)+\dfrac{u}{t}:t>0\rbrace $ kümesinin en büyük alt sınırına $g(u)$ diyelim.
5
$s\ge 1$ ve $t\ge 1$ olmak üzere $$t^{2}+1=s(s+1)$$ eşitliğini sağlayan tüm $(s,t)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.
6
Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarına sıra ile $D$ ve $E$ noktalarında değmektedir. $[CB]$ üzerinde $\vert CK\vert =|BD|$, $[CA]$ üzerinde $\vert AE\vert =|CL|$ koşulunu sağlayan $K$ ve $L$ noktaları için $AK\cap BL=\{P\}$ dir. İç teğet çemberin merkezi $I$, $[BC]$ nin orta noktası $Q$ ve $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ olduğuna göre olduğunu ispatlayınız.