$P(x)=x^3+x^2+x+2$ ve $Q(x)=x^3-x+3$ polinomları veriliyor. $Q(a) \mid P(a)$ olacak şekilde bir $a$ tam sayısı bulunmadığını gösteriniz.

$\widehat B$ ve $\widehat C$ açıları $45^{\circ}$'den büyük olan bir $ABC$ üçgeninin dış bölgesinde $m(\widehat{CAM})=m(\widehat{BAN})=90^{\circ}$ olacak şekilde $ACM$ ve $ABN$ ikizkenar dik üçgenleri, iç bölgesine ise $m(\widehat{BPC})=90^{\circ}$ olacak şekilde $BCP$ ikizkenar dik üçgeni çiziliyor. $MNP$ üçgeninin de ikizkenar dik üçgen olduğunu gösteriniz.

$1+4^x+4^y=z^2$ denkleminin pozitif tam sayılardaki tüm çözümlerini bulunuz.

Boş olmayan $A \subset \{2,3,4,5,...\}$ kümesinde aşağıdaki özellik sağlanıyor.

                $n \in A$ ise $(n^2+4) \in A$ ve $([\sqrt{n}]+1) \in A$

$A=\{2,3,4,5,...\}$ olduğunu gösteriniz.

$8$ kişinin bulunduğu bir partide herkes en fazla $3$ kişiyi tanımıyor. Bu $8$ kişinin kendi içinde birbirini tanıyan $4$ çifte ayrılabileceğini gösteriniz.