$f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.
$(i)$ $f(0)=1/2$
$(ii)$ $\exists a \in \mathbb R : \forall x,y \in \mathbb R$ için
$$f(x+y)=f(x).f(a-y) + f(y).f(a-x)$$
$f$ fonksiyonunun sabit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
$x=y=0$ yazarsak, $f(a)=\frac{1}{2}$ elde edilir.
$y=a$ yazarsak, $$f(x+a)=\frac{1}{2}f(x)+f(a)f(a-x)\tag{1}$$ elde edilir. Bu eşitlikte de $x=a$ yazarsak, $f(2a)=f(a)=\frac{1}{2}$ elde edilir. $x=-a$ içinse $f(-a)=\frac{1}{2}$ elde edilir. İddiamız her $k$ tamsayısı için $f(ka)=\frac{1}{2}$ olduğudur. $k\in\{-n,-n+1,\cdots, n-1, n\}$ için bu doğru olsun. O halde $(1)$'de $x=na$ için $$f((n+1)a)=\frac{1}{2}f(na)+f(a)f((-n+1)a)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ elde edilir. Benzer şekilde $x=-(n+1)a$ yazarsak artık $f((n+1)a)=\frac{1}{2}$ olduğunu bildiğimizden $f(-(n+1)a)=\frac{1}{2}$ olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla tümevarımdan her $k$ tamsayısı için $f(ka)=\frac{1}{2}$'dir.
Ana eşitlikte $y=ka$ yazarsak, $$2f(x+ka)=f(x)+f(a-x)$$ elde edilir. Sağ taraf $k$'dan bağımsız olduğundan, her $k$ tamsayısı için $f(x+ka)=f(x)$ olmalıdır. Buradan da $$f(x+ka)=f(a-x)=f(x)$$ elde edilir. Ana denklemde yerine yazarsak, her $x,y\in\mathbb{R}$ için $$f(x+y)=2f(x)f(y)\tag{2}$$ bulunur. $$f(a-x)=\frac{1}{2}f(a)f(-x)=f(-x)$$ olduğundan $f(x)=f(-x)$ olacaktır. $(1)$'de $y$ yerine $-x$ yazarsak, $$f(0)=2f^2(x)\implies f^2(x)=\frac{1}{4}\implies f(x)=\frac{1}{2}\quad \text{veya}\quad f(x)=-\frac{1}{2}$$ bulunur. Eğer $f(t)=-\frac{1}{2}$ olacak şekilde bir $t$ varsa $$f(t)=2f^2\left(\frac{t}{2}\right)<0$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla her $x$ için $f(x)=\frac{1}{2}$'dir.