1
$f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.
$(i)$ $f(0)=1/2$
$(ii)$ $\exists a \in \mathbb R : \forall x,y \in \mathbb R$ için
$$f(x+y)=f(x).f(a-y) + f(y).f(a-x)$$
$f$ fonksiyonunun sabit olduğunu gösteriniz.
3
Bir $ABCD$ dikdörtgeninin çevrel çemberi üzerinde $M$ noktası alınıyor. $M$ noktasından $AB,BC,CD$ ve $DA$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R,P,T,Q$ olsun. $PR \perp QT$ olduğunu ve bu doğruların kesişim noktasının $ABCD$'nin bir köşegeni üzerinde olduğunu gösteriniz.
4
$x,y,z >0$ ise
$$\dfrac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1} + \dfrac{(y+1)(z+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1} + \dfrac{(z+1)(x+1)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1} \geq x+y+z+3$$
olduğunu gösteriniz.
5
$n$ köşeli bir çizgeye herhangi yeni bir kenar eklendiğinde;
a) yeni bir üçgen oluşuyorsa bu çizgede en az kaç kenar olabilir?
b) yeni bir $K_4$ oluşuyorsa bu çizgede en az kaç kenar olabilir?($K_4$, $4$ köşeli tam çizgedir.)