Tübitak Kamp Sınavları - 2002 - Lise Kış
1
$C$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin $D, F \in [AB]$ olmak üzere, $[CD]$ yüksekliği ve $[CF]$ açıortayı çiziliyor. $K \in [BC]$ ve $L \in [AC]$ olmak üzere $[DK]$ ve $[DL]$ sırası ile $BDC$ ve $ADC$ üçgenlerinin açıortayları ise $CLFK$ dörtgeninin bir kare olduğunu gösteriniz.
2
$n_1, n_2, \dots, n_{100}>0$ ve $n_1 + n_2 + \cdots + n_{100} = 4$ olmak üzere, $i<j$ olacak şekilde tüm ikililer için $\dfrac{n_in_j}{n_i + n_j}$ oranları oluşturularak, bu oranların toplamı bulunuyor. Bu toplamın alabileceği en büyük değer nedir?
3
Sonsuz büyüklükteki bir satranç tahtasından, bu tahtayı oluşturan karelerin kenarları boyunca bir çokgen kesilip dışarı alınıyor. Bu çokgenin bir kenarına bitişik bir kare siyahsa bu kenarın bu kareyle ortak kısmına $ \textit{siyah parça}$; sözü geçen kare beyazsa bu kareyle ortak kısmına $ \textit{beyaz parça}$ deniyor. Böylece çokgenin çevresi, siyah parçaların ve beyaz parçaların birleşimi olarak gösterilmiş oluyor. Siyah parçaların sayısı $S$, beyaz parçaların sayısı $B$; çokgen içinde kalan siyah karelerin sayısı $s$, beyaz karelerin sayısı $b$ ise
$$ S - B = 4(s-b) $$
olduğunu gösteriniz.
4
$$
\begin{equation*}
\begin{split}
xy & \equiv 1 \pmod{z} \\
xz & \equiv 1 \pmod{y} \\
yz & \equiv 1 \pmod{x}
\end{split}
\end{equation*}
$$
denkliklerini ve $2 \leq x \leq y \leq z$ şartını sağlayan tüm $(x,y,z)$ tam sayı üçlülerini bulunuz.
5
Çevrel çemberinin yarıçapı $R$, köşegen uzunlukları $e$ ve $f$, köşegenler arasındaki açı $\alpha$ olarak verilen kirişler dörtgenini çiziniz.