$C$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin $D, F \in [AB]$ olmak üzere, $[CD]$ yüksekliği ve $[CF]$ açıortayı çiziliyor. $K \in [BC]$ ve $L \in [AC]$ olmak üzere $[DK]$ ve $[DL]$ sırası ile $BDC$ ve $ADC$ üçgenlerinin açıortayları ise $CLFK$ dörtgeninin bir kare olduğunu gösteriniz.

$n_1, n_2, \dots, n_{100}>0$ ve $n_1 + n_2 + \cdots + n_{100} = 4$ olmak üzere, $i<j$ olacak şekilde tüm ikililer için $\dfrac{n_in_j}{n_i + n_j}$ oranları oluşturularak, bu oranların toplamı bulunuyor. Bu toplamın alabileceği en büyük değer nedir?

Sonsuz büyüklükteki bir satranç tahtasından, bu tahtayı oluşturan karelerin kenarları boyunca bir çokgen kesilip dışarı alınıyor. Bu çokgenin bir kenarına bitişik bir kare siyahsa bu kenarın bu kareyle ortak kısmına $ \textit{siyah parça}$; sözü geçen kare beyazsa bu kareyle ortak kısmına $ \textit{beyaz parça}$ deniyor. Böylece çokgenin çevresi, siyah parçaların ve beyaz parçaların birleşimi olarak gösterilmiş oluyor. Siyah parçaların sayısı $S$, beyaz parçaların sayısı $B$; çokgen içinde kalan siyah karelerin sayısı $s$, beyaz karelerin sayısı $b$ ise
$$ S - B = 4(s-b) $$
olduğunu gösteriniz.

$$
\begin{equation*}
\begin{split}
xy  & \equiv 1 \pmod{z} \\
xz  & \equiv 1 \pmod{y} \\
yz  & \equiv 1 \pmod{x}
\end{split}
\end{equation*}
$$

denkliklerini ve $2 \leq x \leq y \leq z$ şartını sağlayan tüm $(x,y,z)$ tam sayı üçlülerini bulunuz.

Çevrel çemberinin yarıçapı $R$, köşegen uzunlukları $e$ ve $f$, köşegenler arasındaki açı $\alpha$ olarak verilen kirişler dörtgenini çiziniz.