Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına paralel olan bir doğru, $[AB]$ kenarını $L$; $[BB_1]$ kenarortayını $T$; $[AC]$ kenarını da $N$ ile gösterilen noktalarda kesiyor. $|LT|=a$ ve $|TN|=b$ olmak üzere, $|BC|$ nin $a$ ve $b$ cinsinden değerini bulunuz.

Dört basamaklı sayılar arasında, tamkare olup, onlar basamağı ile binler basamağı aynı, yüzler basamağı da birler basamağından $1$ fazla olan tüm sayıları bulunuz.

$\dfrac{1}{1+x_1} + \dfrac{1}{1+x_2} + \cdots + \dfrac{1}{1+x_n} =1$ eşitliğini sağlayan pozitif $x_1,x_2,...,x_n$ gerçel sayılarının en küçüğü $a$ ile gösterilmek üzere,
$$\dfrac{1}{n} \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \geq \dfrac{a}{a+1}$$
olduğunu kanıtlayınız.

Azer ve Bumin, içlerinde $m$ ve $n$ sayıda şeker bulunan iki kavanoz ile şöyle bir oyun oynuyorlar:
Sırası gelen, seçtiği kavanozdan -mümkünse- en az bir tane şeker yiyip; yediği sayıda şekeri de diğer kavanoza aktarıyor. Sırası geldiğinde bu işlemi yapamayan, oyunu kaybediyor. Oyuna Azer başlarsa, kimin kazanacağını $m$ ve $n$ ye bağlı olarak belirleyiniz.

Aynı merkezli iki çember, bu çemberleri sırasıyla $A,B,C,D$ ile gösterilen dört noktada kesen bir $d$ doğrusu ve birbirine paralel $[AE], [BF]$ kirişleri veriliyor. $C$ noktasından $BF$ ve $D$ noktasından da $AE$ doğrusuna indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $G$ ve $H$ ile gösterilmek üzere, $|GF|=|HE|$ olduğunu ispatlayınız.

$n>2$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, düzgün bir $2n$-genin köşelerini $1$ den $2n$ ye kadar olan tam sayıları kullanarak numaralıyoruz. Her köşeye farklı bir sayı verilmiş olup, ardışık iki köşedeki sayıların toplamı, bunların karşıt köşelerine verilen sayıların toplamına eşittir. $n$ nin bunu olanaklı kılan tüm değerlerini bulunuz.