Tübitak Kamp Sınavları - 2001 - Ortaokul Yaz

$n$ bir doğal sayı olmak üzere $(4n+1)(12n+1)$ bir tamkare ise $7$'nin $n(3n+1)$'i böldüğünü gösteriniz.

$50 \times 50$ satranç tahtasını aşağıdaki şekli kullanarak kapatabilir miyiz?

$\sqrt{x^2+4y^2+9z^2+36}=3+y+\sqrt{3xz}$ denklemini reel sayılarda çözünüz.

$AC$, $ABCD$ paralelkenarının uzun köşegenidir. $C$ noktasından $AB$ ve $AD$ doğrularına sırasıyla $CE$ ve $CF$ dikmeleri çiziliyor.
$$AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC^2$$
olduğunu ispatlayınız.

Bir nehrin karşılıklı yakalarında $A$ ve $C$ şehirleri, nehrin ortasında da $B$ adası vardır. $A$ şehrini $B$ adasına bağlayan iki köprü, $C$ şehrini de $B$ adasına bağlayan üç köprü vardır. Köprülerden her iki yönde de geçilebildiğine göre $A$'dan başlayıp $100$ köprü geçtikten sonra tekrar $A$'ya varan kaç farklı yol vardır?