Her $z$ tam sayısı için $f(f(z))=z+2$ koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonlarını bulunuz.

$200$'er öğrencisi bulunan üç okulun öğrencilerinden her birinin, her üç okulda da, (karşılıklı olarak) tanıştığı en az birer öğrenci bulunuyor. $300$ öğrenciden oluşan ve şu koşulu sağlayan bir $E$ kümesinin bulunduğu biliniyor: Üç okuldan hangisi ve $E$'ye ait ve bu okulun öğrencisi olmayan hangi iki öğrenci verilirse verilsin, bu öğrencilerin bu okuldan tanıdıkları öğrencilerin sayısı farklıdır. Hepsi birbiriyle tanışan ve her biri farklı okullardan olan üç öğrencinin bulunduğunu gösteriniz.

$AB$ çaplı bir çemberin $OB$ yarıçapını çap kabul eden bir çember ve bu iki çembere $S$ ve $T$ noktalarında teğet bir çember daha çiziliyor. $S \neq T$ olmak üzere, $AST$ üçgeninin çevrel çemberinin $O$'dan geçtiğini ispatlayınız.

$x,m,n >1$ tam sayılar olmak üzere, $(x+1)^m-x^n=1$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,m,n)$ sıralı üçlülerini bulunuz.