Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2023

$n \geq 3$ olmak üzere, $a_1,a_2,...,a_n$ pozitif reel sayıları verilmiştir. Her $1 \leq i \leq n$ için $b_i=\dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i}$ olsun (burada $a_0$ sayısı $a_n$ ve $a_{n+1}$ sayısı $a_1$ olarak tanımlanmıştır). Her $i,j \in [1,2,...,n]$ için $a_i \leq a_j$ ancak ve ancak $b_i \leq b_j$ dir.
$$a_1=a_2= \dots =a_n$$ olduğunu ispatlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin çevrel çemberi üzerinde $AD$ çap olacak şekilde bir $D$ noktası alınmıştır. Sırasıyla $AB$ ve $AC$ doğru parçaları üzerinde yer alan $K$ ve $L$ noktaları için, $DK$ ve $DL$ doğruları $AKL$ üçgeninin çevrel çemberine teğettir. $KL$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin diklik merkezinden geçtiğini gösteriniz.

Bir üçgenin diklik merkezi, o üçgenin yüksekliklerinin kesiştikleri noktadır.

$k$ bir pozitif tam sayı olsun. Lexi'nin, sadece $A$ ve $B$ harflerini içeren $k$ harfli kelimelerden oluşan bir $\mathcal D$ sözlüğü vardır. Lexi, $k \times k$ boyutlarında bir satranç tahtasının birim karelerinin her birine ya $A$ ya da $B$ harfini, her satır soldan sağa okunduğunda $\mathcal D$ de bulunan bir kelime oluşacak ve her sütun yukarıdan aşağıya okunduğunda $\mathcal D$ de bulunan bir kelime oluşacak şekilde yazmak istiyor.
En az $m$ farklı kelime içeren her $\mathcal D$ sözlüğü için Lexi tahtayı istediği biçimde doldurabiliyorsa $m$ tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

Salyangoz Turbo çevresi $1$ birim olan bir çemberin üzerindeki bir noktada oturmaktadır. $c_1,c_2,c_3,...$ sonsuz pozitif reel sayı dizisi verildiğinde, Turbo çember üzerinde sırasıyla $c_1,c_2,c_3,...$ birim uzunluğunda mesafeleri, her seferinde saat yönü veya saat yönünün tersi istikametlerinden birini seçip o yönde sürünerek kat ediyor.

Örneğin, $c_1,c_2,c_3,...$ dizisi $0.4,0.6,0.3,...$ şeklinde ise, Turbo sürünmeye örnekteki gibi başlayabilir :


Aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük $C>0$ sabit sayısını belirleyin :

Her $i$ değerinde $c_i<C$ koşulunu sağlayan tüm $c_1,c_2,c_3,...$ pozitif reel sayı dizileri için, Turbo (bu diziyi inceledikten sonra) çember üzerinde hiç uğramadığı veya üzerinden geçmediği bir nokta bulunmasını garantileyebilir.

Bir $s \geq 2$ pozitif tam sayısı verilmiştir. Her $k$ pozitif tam sayısı için, bu sayının döndürülmüşü $k'$ aşağıdaki şekilde tanımlanıyor :

$k$ sayısını $as+b$ olarak, $a,b$ negatif olmayan tam sayılar ve $b<s$ olacak şekilde yazalım, o zaman $k'=bs+a$ dır. $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $d_1=n$ ve her $i$ pozitif tam sayısı için $d_{i+1}$ sayısı $d_i$ sayısının döndürülmüşü olacak şekilde tanımlanan $d_1,d_2,...$ sonsuz dizisini alalım.

Bu dizinin $1$ sayısını içermesi için gerek ve yeter koşulun $n$ sayısının $s^2-1$ ile bölümünden kalanın ya $1$ ya da $s$ olması olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ olsun. $B$ noktasını içermeyen $AC$ yayının orta noktası $S_b$, $C$ noktasını içermeyen $AB$ yayının orta noktası $S_c$ olsun. Çevrel çemberin $BAC$ yayının ($A$ noktasını içeren $BC$ yayının) orta noktası $N_a$ olsun. $ABC$ üçgeninin iç teğet çember merkezi $I$ olsun. $AB$ doğrusuna teğet olup $\Omega$ çemberine $S_b$ noktasında içten teğet olan çember $\omega _b$; $AC$ doğrusuna teğet olup $\Omega$ çemberine $S_c$ noktasında içten teğet olan çember $\omega _c$ olsun. $IN_a$ doğrusu ile $\omega _b$ ve $\omega _c$ çemberlerinin kesişim noktalarından geçen doğrunun $\Omega$ üzerinde kesiştiğini gösteriniz.